Introduzione
Se si fanno delle ricerche in rete riguardo alla sezione aurea si trovano molti siti che elencano le proprietà e le situazioni in cui si ritrova questa famosa proporzione.
C’è un problema, tuttavia. La maggior parte di queste affermazioni è falsa.
È vero che la sezione aurea ha delle proprietà interessanti, e si ritrova in molte figure geometriche, ma il più delle volte quando se ne parla in articoli o trasmissioni di divulgazione, lo si fa in modo del tutto insensato.
Cerchiamo allora di fare chiarezza e distinguere i fatti dalle leggende.
Cos’è la sezione aurea
Immaginiamo di avere un segmento AB e diprendere un punto C all’interno del segmento in modo da dividerlo in due parti AC e CB. Ora immaginiamo di cercare un particolare punto C tale per cui il rapporto tra tutto AB e AC sia uguale al rapporto tra AC e CB.
Scritto sotto forma di proporzione (quanti ricordi di quando insegnavo alle medie!) la posizione del punto C è tale che:
$AB:AC=AC:CB$
o, in termini di frazioni:
$\displaystyle\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB}$
Si può riassumere la formula dicendo che AC è medio proporzionale tra AB e CB, cioè tra tutto il segmento e la parte rimanente.
Il numero conosciuto come sezione aurea è il rapporto tra AB e AC e viene indicato con la lettera greca $\phi$.
Questa sua proprietà di creare delle proporzioni uguali tra tutto il segmento e la parte rimanente ha valso alla sezione aurea la fama di essere la proporzione ideale tra diverse lunghezze.
Ponendo $AB = 1$ allora $\phi = \frac{1}{AC}$ e $BC = 1-AC$. Usando queste uguaglianze nella proporzione che definisce la sezione aurea troviamo che $\phi$ deve essere soluzione dell’equazione di secondo grado
$\phi^2-\phi-1=0$
Cercando le soluzioni con la solita formula $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ si trova una soluzione negativa che scartiamo (perché $\phi$ è un rapporto tra due quantità positive) e una soluzione positiva data da:
$\displaystyle\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Si tratta di un numero irrazionale le cui prime cifre sono 1,6180339887.
Proprietà matematiche della sezione aurea
Proprietà geometriche
In un pentagono regolare il rapporto tra la diagonale e il lato è uguale a $\phi$.
Inoltre, prolungando i lati del pentagono si può costruire una stella a cinque punte, detta pentagramma, nella quale vari segmenti hanno tra di loro un rapporto uguale alla sezione aurea.
Nella figura precedente i rapporti tra AD e AB, tra AB e CD e tra CD e BC sono tutti uguali alla sezione aurea!
Il rapporto aureo si trova spesso anche nelle tassellazioni di Penrose. Si tratta di figure geometriche che possono essere combinate tra loro per coprire completamente il piano (come se fossero delle mattonelle) ma che lo fanno in modo da non ripetere mai esattamente la stessa sequenza geometrica (la definizione precisa è un po’ più complicata, vedi Wikipedia: Aperiodic tiling).
Proprietà aritmetiche
Il numero $\phi$ ha delle interessanti proprietà aritmetiche.
Spostando a destra due termini dell’equazione che definisce $\phi$ troviamo l’uguaglianza:
$\phi^2 = \phi + 1$
Questa formula dice che calcolando il quadrato di $\phi$ oppure aggiungendo una unità a $\phi$ si ottiene lo stesso risultato:
$\phi +1=2,618033\ldots$
$\phi^2=2,618033\ldots$
Dividendo invece tutti i termini dell’equazione che definisce $\phi$ per $\phi$ stesso (e spostando alcuni termini) si ottiene
$\frac{1}{\phi} = \phi -1$
Cioè il reciproco di $\phi$ è uguale al numero che si ottiene togliendo una unità a $\phi$
$\phi -1=0,618033\ldots$
$\frac{1}{\phi}=0,618033\ldots$
(provate con una calcolatrice a moltiplicare tra loro 1,6180339887 e 0,6180339887, otterrete un numero molto vicino a 1 perché i due numeri sono uno il reciproco dell’altro)
La sezione aurea è collegata anche alla successione di Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
nella quale ogni termine si trova sommando tra loro i due precedenti. Si può dimostrare che il rapporto tra un elemento della successione e quello che lo precede tende alla sezione aurea a mano a mano che si prendono valori sempre più grandi della sequenza.
Vediamo i risultati che otteniamo nei primi casi:
$\frac{5}{3} = 1,666\ldots$
$\frac{8}{5} = 1,6$
$\frac{13}{8} = 1,625$
$\frac{21}{13} = 1,6153\ldots$
$\frac{34}{21} = 1,61904\ldots$
$\frac{55}{34} = 1,61764\ldots$
$\frac{89}{55} = 1,61818\ldots$
I valori ottenuti tendono ad avvicinarsi alla sezione aurea.
L’espressione “sezione aurea” non era usata nell’antichità
Può sembrare incredibile ma il nome sezione aurea, è stato coniato solo in epoca moderna. È possibile che il termine sia stato usato a partire dal 1500, ma la più antica traccia scritta che abbiamo di questo nome è da parte del matematico tedesco Martin Ohm (fratello del fisico che ha studiato le resistenze), che la utilizza in un trattato del 1835!
In precedenza, a partire dal rinascimento, era conosciuta come proporzione divina, in particolare in seguito alle opere del matematico Luca Pacioli.
Gli antichi, pur avendolo scoperto, non avevano dato un nome particolare a questo concetto, Euclide parla della divisione di un segmento in un rapporto estremo e medio, senza attribuirgli un termine preciso o un significato filosofico, ma per indagarne le proprietà matematiche.
La sezione aurea nella realtà
Premessa: non otterremo mai $\phi$ come rapporto di due lunghezze misurate
Prima di passare in rassegna le varie ipotesi su dove si ritrova il rapporto aureo, va fatta un’importante premessa.
La sezione aurea è un numero irrazionale. Significa sostanzialmente due cose:
- $\phi$ ha infinite cifre decimali che non presentano alcuna periodicità
- $\phi$ non si può ottenere dal rapporto tra due numeri naturali
Se $\phi$ non si può ottenere come rapporto tra due numeri naturali non si può ottenere nemmeno dal rapporto di due numeri decimali limitati. Infatti, qualsiasi rapporto tra due numeri decimali limitati si può scrivere anche come rapporto tra due naturali. Ad esempio, il rapporto tra 1,58 e 2,61 è uguale al rapporto tra 158 e 261.
Quando misuriamo una qualsiasi lunghezza otteniamo sempre un valore che ha un numero di cifre limitato perché non possiamo andare oltre alla precisione del nostro strumento.
Per questo motivo quando misuriamo due lunghezze e poi ne facciamo il rapporto, il risultato sarà sempre un numero razionale, mai un numero irrazionale.
Da questo punto di vista non potremo mai ottenere esattamente la sezione aurea come rapporto di due lunghezze che abbiamo misurato.
Non potendo ottenerla in modo esatto dovremo allora valutare se ci siamo avvicinati abbastanza al valore desiderato da convincerci che esiste effettivamente un qualche collegamento significativo, oppure no.
A questa considerazione si può aggiungere il fatto che in una struttura molto complessa, un edificio, un essere umano, un animale, una pianta, un quadro, ci sono decine di parti di cui si può misurare la lunghezza e di conseguenza il numero di coppie che possiamo formare per calcolare un rapporto e vedere se si avvicina a $\phi$ è altissimo.
In queste situazioni è normale riuscire a trovare una qualche coppia che fornisce un risultato abbastanza vicino al numero desiderato. Funzionerebbe con la sezione aurea ma anche con altri numeri particolari, pi greco, la costante di Eulero, radice di due.
La sezione aurea nell’arte e nell’architettura
Il Partenone
Penso che il collegamento più famoso tra la sezione aurea e l’arte sia quello del Partenone. Ci è sempre stato raccontato che molte delle proporzioni presenti in questo tempio greco fossero uguali alla sezione aurea.
In molti testi e siti si riporta ad esempio come la larghezza e l’altezza della facciata del Partenone rispettino questa particolare proporzione.
Spesso, tuttavia, non viene specificato in modo preciso tra quali punti dovrebbero essere misurate queste lunghezze e, in una struttura così complessa, non è affatto scontato.
La larghezza potrebbe essere la distanza tra le due colonne più esterne, la distanza tra i due capitelli più esterni, la larghezza della base superiore su cui poggiano le colonne, la larghezza del secondo scalino, la larghezza del frontone.
Data la ricchezza della struttura non è difficile sovrapporre alla facciata un rettangolo che abbia i lati in proporzione uguale al rapporto aureo e fare in modo che i lati coincidano, con buona approssimazione, ad alcuni elementi architettonici presenti.
All’epoca della costruzione del Partenone erano conosciute alcune proprietà della sezione aurea, ma non quella di essere la lunghezza medio proporzionale tra tutto il segmento e la parte rimanente. Il primo a parlare di questa proprietà è Euclide nel 300 a.C. e il Partenone fu edificato più di un secolo prima.
In aggiunta a queste considerazioni bisogna sotto lineare che non esiste alcuna traccia documentale che il concetto di rapporto aureo fosse importante per i greci.
Keith Devlin, un famoso matematico e divulgatore inglese afferma: “Certamente, l’affermazione spesso ripetuta secondo la quale il Partenone di Atene si basa sulla sezione aurea non è supportata da misurazioni reali. Effettivamente, l’intera storia riguardo ai greci e alla sezione aurea sembra non avere alcun fondamento.” (Keith Devlin, The Math Instinct, 2005).
Considerazioni analoghe a quelle svolte per il Partenone si possono replicare anche riguardo alla piramide di Cheope che molti sostengano abbia delle proporzioni che rimandano alla sezione aurea.
Leonardo da Vinci
C’è più di un disegno di Leonardo da Vinci che viene collegato alla sezione aurea, ma il caso più famoso è sicuramente quello dell’Uomo Vitruviano. È vero che in questo disegno Leonardo voleva rappresentare le proporzioni ideali del corpo umano, ma non c’è alcuna traccia significativa sul fatto che l’artista abbia volutamente utilizzato la sezione aurea come riferimento.
Chiaramente ci sono un sacco di diverse lunghezze che si possono misurare in un corpo, è chiaro che un qualche rapporto che si avvicina al numero $\phi$ non è difficile da trovare (serve solamente un po’ di pazienza).
Leonardo da Vinci collaborò con il matematico Luca Pacioli che fu il principale sostenitore della divina proporzione (chiamava così il rapporto aureo) come rappresentazione della proporzione perfetta. Tuttavia, è molto probabile che Leonardo realizzò l’uomo vitruviano ancora prima di conoscere Pacioli e non ci sono prove che Leonardo abbia intenzionalmente inserito tale concetto nelle sue opere.
Arte moderna
Nell’arte moderna ci sono casi in cui gli artisti hanno volutamente inserito dei rapporti vicini a quello aureo, ma più che altro per l’idea di proporzione perfetta che esso rappresentava ai loro occhi.
Un esempio è il caso del quadro “L’ultima cena” di Salvador Dalì per il quale l’autore stesso ha dichiarato di aver utilizzato la sezione aurea in alcuni elementi, in particolare per il rapporto tra larghezza e altezza del quadro e per il rapporto tra i lati (visti in prospettiva) del dodecaedro che si trova sullo sfondo.
La larghezza e altezza del quadro sono rispettivamente 267 cm e 166,7 cm il cui rapporto è 1,602 (approssimando alla terza cifra dopo la virgola). Nonostante l’autore lo abbia ricercato è arrivato abbastanza vicino, ma non vicinissimo al desiderato 1,618.
L’architetto svizzero (poi naturalizzato francese) Le Corbusier fu un grande sostenitore della sezione aurea inserendola in alcune sue opere, ad esempio nella villa Stein (a Garches in Francia) e nel suo Modulor, un insieme di proporzioni che sarebbero rispettate dal corpo umano, riprendendo idee simili a quelle dell’uomo vitruviano.
La sezione aurea in natura
Il corpo umano
Molti sostengono che la sezione aurea si manifesti in alcuni rapporti relativi al corpo umano.
Uno degli esempi di cui si sente spesso parlare è il rapporto tra l’altezza di una persona e l’altezza dell’ombelico da terra. Per quanto mi riguarda le due lunghezze sono 170 cm e 104 cm e il loro rapporto vale circa 1,635, non proprio vicino al 1,618 della sezione aurea.
Si potrebbe obbiettare che è il corpo ideale ad avere tale proporzione e che il mio non lo è (questo lo sapevo già!), ma in base a cosa si può fare questa affermazione?
Chi sostiene che nel corpo perfetto il risultato giusto deve essere $\phi$ non spiega mai perché dovrebbe esserlo, chi l’ha deciso? E perché invece c’è una grande variabilità (come è normale ci sia) da persona a persona?
Nemmeno la media di questo rapporto calcolata su molte persone si avvicina significativamente a $\phi$ rimanendo invece su valori più alti attorno all’1,63, ma variando significativamente da casi in cui vale 1,58 a casi in cui vale 1,67.
Le stesse considerazioni si possono fare per altri rapporti tra dimensioni del corpo umano che si sostiene siano uguali alla sezione aurea, come ad esempio il rapporto tra le falangi della mano.
Vegetali e animali
Il regno vegetale è quello in cui è più credibile che possa comparire per un qualche motivo la sezione aurea. Questo perché le piante presentano in certi casi delle strutture con geometrie molto precise e ripetitive.
Alcune piante hanno la caratteristica di far crescere una foglia alla volta con una rotazione fissa rispetto alla foglia precedente. Se questa rotazione che si ripete è una frazione $a/b$ di un angolo giro, dove $a$ e $b$ sono numeri naturali, le foglie formeranno un numero di spirali uguale al denominatore $b$.
Ad esempio se la frazione scelta dalla pianta fosse 3/5 di un angolo giro si creerebbero 5 spirali formate dalle foglie.
Per fare in modo che le foglie non si sovrappongano tra loro (bloccando la luce solare) è opportuno che questa rotazione non sia una frazione di un angolo giro esprimibile con un denominatore piccolo. In certi casi questa rotazione si avvicina molto all’inverso del rapporto aureo garantendo di distribuire le foglie (o i semi) in modo abbastanza uniforme nelle varie direzioni.
Per avvicinarsi a una rotazione ideale rappresentata dal numero irrazionale $\phi$, molte piante hanno selezionato un rapporto formato da due numeri consecutivi della successione di Fibonacci (che abbiamo visto tende a $\phi$).
Ad esempio dei rapporti possibili potrebbero essere 13/21 oppure 21/34. Il denominatore determina Il numero di spirali che si formano ed è per questo che in moltissime piante il numero di spirali formate da foglie o semi è uguale ad un numero della successione di Fibonacci.
Spesso si dice che il mollusco noto come nautilus ha un guscio a forma di spirale aurea.
Le spirali logaritmiche sono fatte in modo che ad ogni giro completo la distanza dal centro aumenta di un fattore costante. La spirale aurea è una particolare spirale logaritmica in cui il fattore di accrescimento è uguale a $\phi$ per ogni quarto di giro. Per un giro completo la spirale aurea cresce quindi di un valore pari a $\phi^4 = 6,85\ldots$.
Diversi studi (vedi riferimenti alla fine dell’articolo) hanno rilevato come la spirale del nautilus sia una spirale logaritmica, ma non una spirale aurea. Per ogni giro il raggio del guscio cresce di un fattore tra 3 e 4, non di un fattore di 6,85 caratteristico della spirale aurea.
Nonostante questo il mito della spirale del nautilus continua, troppo bello per non raccontarlo in giro!
La sezione aurea nella finanza!
Sembra impossibile ma alcune persone hanno tirato in ballo la sezione aurea anche nell’ambito degli investimenti, in particolare nel settore conosciuto come analisi tecnica, che si prefigge di svolgere analisi sui prezzi delle azioni per riuscire a prevederne gli andamenti futuri.
Per spiegarla in modo semplice diciamo che alcuni analisti hanno utilizzato la sezione aurea come soglia di variazione relativa del prezzo per decidere se conviene comprare o vendere una azione.
Questo approccio (come quello ancora più assurdo dell’astrologia finanziaria, vedi Wikipedia: Financial_astrology) non ha alcun fondamento e non si è dimostato efficace nella pratica degli investimenti finanziari.
Conclusioni
Da un lato capisco e condivido il messaggio che si vuole mandare con questo tipo di divulgazione che esalta il ruolo della sezione aurea, e cioè che possiamo ritrovare dei concetti matematici nella natura e in generale nella realtà che ci circonda.
Tuttavia, voler mandare un messaggio giusto non ci dà il permesso di raccontare fatti non veri.
È una situazione simile al caso in cui si racconta la storiella di Einstein che andava male in matematica (vedi : Einstein bocciato in matematica, verità e leggende sul grande scienziato) per mandare il messaggio che uno studente non brillante può da adulto eccellere e raggiungere grandi risultati. Messaggio giusto, ma storia inventata.
Ma perché questi miti continuano a circolare?
Dal mio punto di vista le motivazioni principali sono tre:
- spesso le persone ripetono agli altri ciò che è stato detto loro senza fare verifiche;
- l’argomento “la sezione aurea è dappertutto e spiega l’armonia dell’universo” può essere usato per vendere libri o programmi televisivi, mentre l’argomento “la sezione aurea è interessante, ma non è dappertutto” funziona meno;
- è una bella storia che manda un messaggio giusto, questo fa aumentare l’entusiasmo e diminuire il nostro spirito critico.
Per avere degli esempi in cui la matematica è veramente utile per comprendere la realtà, be’… andate a cercare tra i miei articoli! 🙂
E ricordate… non è tutto aureo quello che luccica!!
Riferimenti
- Immagine di copertina: Steve Swayne, CC BY 2.0 https://creativecommons.org/licenses/by/2.0, via Wikimedia Commons
- Wikipedia: Golden ratio
- Wikipedia Tassellatura di Penrose e anchevedi anche Aperiodic tiling
- Markowsky, George. (1992). Misconceptions about the Golden Ratio. The College Mathematics Journal. 23. 2-19. 10.1080/07468342.1992.11973428, Misconceptions about the Golden Ratio, researchgate.net
- Wikipedia: Martin Ohm, primo a inserire in un testo l’espressione “sezione aurea”
- Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Vitruvian_Man
- Wikipedia: Ultima_Cena_(Dalì)
- Wikiipedia: Le Corbusier.
- Wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Modulor.
- Wikpedia: Spirale logaritmica
- Bartlett, Christopher. (2018). Nautilus Spirals and the Meta-Golden Ratio Chi. Nexus Network Journal. 21. 10.1007/s00004-018-0419-3. Nautilus Spirals and the Meta-Golden Ratio Chi.
