Vi siete mai chiesti a che distanza guardiamo quando osserviamo l’orizzonte? Fare una stima della distanza senza strumenti adeguati è piuttosto difficile.
Sicuramente la distanza a cui vediamo aumenta con l’aumentare dell’altezza rispetto al suolo e questo fatto era noto già agli antichi che, con lo scopo di vedere più lontano, osservavano l’orizzonte da una torre o dall’albero di una nave.
Ma allora, quanto lontano si vede guardando l’orizzonte dalla spiaggia? E quanto più lontano vedono i bagnini se si mettono su una torretta di osservazione? E da una montagna alta 3000 metri?
Proviamo a scoprirlo con l’aiuto della matematica!
La formula dell’orizzonte
Ricaviamo la formula che fornisce la distanza dell’orizzonte in funzione dell’altezza. Il seguente disegno rappresenta la situazione da un punto di vista geometrico.
In questa immagine $R$ rappresenta il raggio terrestre, $h$ l’altezza rispetto al suolo e $d$ la distanza a cui vediamo.
Per le proprietà delle rette tangenti ad una circonferenza il triangolo che si forma è rettangolo e possiamo di conseguenza applicare il teorema di Pitagora.
L’ipotenusa è lunga $R+h$ mentre i due cateti sono lunghi $d$ e $R$. Il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti per cui:
$\left(R+h \right)^2 = R^2 + d^2$
Da questa formula possiamo ricavare la distanza $d^2$ come
$d^2=\left(R+h \right)^2 – R^2$
Nei passaggi che seguono viene calcolato il quadrato della parentesi e poi raccolto a fattor comune $h$
$d^2=R^2+2Rh+h^2-R^2 = 2Rh+h^2 = h\left(2R + h \right)$
prendendo la radice quadrata troviamo finalmente la formula per ottenere la distanza dell’orizzonte:
$d = \sqrt{h\left(2R + h \right)}$
Per eseguire il calcolo bisogna quindi inserire al posto di $R$ la lunghezza del raggio terrestre (6371 km) e l’altezza $h$ a cui si osserva. Attenzione tuttavia alle unità di misura che devono essere le stesse per $R$ e per $h$! Bisognerà quindi esprimerle entrambe in metri o entrambe in chilometri.
Versione approssimata della formula
C’è una versione approssimata della formula che funziona benissimo per altitudini piccole rispetto al raggio terrestre.
La nostra formula di partenza è
$d = \sqrt{h\left(2R + h \right)}$
All’interno della parentesi tonda c’è una somma tra due lunghezze: il doppio del raggio terrestre e l’altitudine dal suolo. Il raggio terrestre è più di 6000 km per cui il suo doppio è più di 12000 km. Le altitudini di osservazione, se rimaniamo sulla terra, non possono mai superare i 9 km (le vette più alte sono sugli 8000 metri). Per cui se al posto di $2R+h$ scriviamo solamente $2R$ commettiamo un errore molto piccolo, meno di una parte su mille.
La formula approssimata per la distanza dell’orizzonte è quindi
$d = \sqrt{2 h R }$
Considerato che $R$ è un valore fisso ha senso scriverla come $d = \sqrt{2R}\cdot\sqrt{h}$ e calcolare una volta per tutte il valore del primo fattore $\sqrt{2R}$. Per trovare la distanza dell’orizzonte da altezze tipiche delle montange possiamo usare la formula
$d = 112,9\sqrt{h}$
dove l’altezza $h$ va espressa in chilometri e il risultato ottenuto è in chilometri.
Se invece vogliamo trovare la distanza dell’orizzonte per altezze di torri o palazzi, allora si può usare la formula
$d = 3,57\sqrt{h}$
dove $h$ va espressa in metri ma la distanza ottenuta è ancora in chilometri. Usando queste formule approssimate nel caso di palazzi e montagne si ottengono praticamente gli stessi risultati della formula esatta.
Esempi concreti di distanza dell’orizzonte
Vediamo finalmente quanto è distante l’orizzonte in alcuni casi concreti.
Se si osserva l’orizzonte con gli occhi ad un’altezza di 1,60 m sul livello del mare la formula restituisce una distanza dell’orizzonte pari a circa 4,5 km. Un bambino con lo sguardo ad altezza di un metro vedrà meno lontano, circa 3,6 km, mentre una persona molto alta con gli occhi a 1,90 m vedrà fino a 4,9 km.
Un bagnino che si trova su una torretta e guarda da un’altezza di 3 metri vedrà invece fino a 6,2 km.
Da un palazzo di 5 piani si vede fino a circa 14 km mentre dai 276 metri di altezza del terzo piano della torre Eiffel, l’orizzonte si trova a ben 60 km.
E dalle montagne? Quanto lontano si può vedere in teoria? Di seguito una tabella che mostra la distanza dell’orizzonte per alcune altitudini.
Dall’ultima riga si vede che da un’altezza pari a quella del monte Everest la distanza dell’orizzonte sarebbe di ben 336 km!
Limiti della formula
Nella realtà è molto difficile vedere realmente a distanze così grandi per via della foschia dell’aria, per la presenza di nubi o inquinamento.
Per di più la distanza dell’orizzonte calcolata in questo modo presuppone di avere la vista libera da ostacoli e che il terreno segua perfettamente la circonferenza terrestre.
Molto spesso invece la nostra vista è bloccata da case, alberi, montagne, per cui non è facile riuscire a vedere realmente alle distanze riportate nella tabella.
Vedere oltre l’orizzonte!
Tuttavia in certi casi si può vedere un punto che si trova ad una distanza maggiore della distanza dell’orizzonte!
È possibile infatti osservare, da una certa altitudine, una montagna che si erge sopra all’orizzonte e che si trova quindi più lontana dell’orizzonte teorico stesso. Un po’ come se vedessimo la parte alta di una nave il cui scafo si trova dietro la linea dell’orizzonte.
L’esempio più notevole di cui si ha una documentazione certa è una foto del monte Aconcagua (sulle Ande) scattata nel 2023 da una montagna di 2770 m che si trova nelle vicinanze di Cordoba (Cerro Champaquí).
La distanza visuale tra i due punti è di ben 483,5 km rendendo questa foto un vero e proprio record assoluto! (Vedi wikipedia: Long_distance_observations nella sezione “Ground-to-ground world records” e anche la pagina https://dalekiewidoki.pl/2023/05/world-record-andes.html dove viene mostrata la foto e spiegati i dettagli dell’impresa).
La matematica ci aiuta a calcolare dove si trova il limite del nostro sguardo, ma ci insegna anche che basta elevarsi un po’ per spostare quel limite e vedere più lontano.
