Le formule non vanno imparate a memoria, vanno capite.
Quante volte ci è capitato di sentire (e dire!) questa frase. Il principio è giusto, ma non sempre applicabile. A volte, per praticità, è necessario ricorrere alla memoria perché ricavare una certa formula è troppo complicato.
È il caso della formula usata per risolvere le equazioni di secondo grado. Data un’equazione $ax^2+bx+c=0$ le soluzioni si trovano con la famosa formula
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Uno studente in autonomia difficilmente sarebbe in grado di ricavare la formula e non c’è un ragionamento che possa far ricordare come è fatta (ad esempio perché al denominatore c’è $2a$? Perché il termine $b$ ha il segno negativo? Il motivo sta ovviamente nella dimostrazione della formula, ma altre formule matematiche si possono invece ricostruire con alcuni ragionamenti logici).
Di conseguenza generazioni di studenti l’hanno imparata a memoria per poter risolvere gli esercizi sulle equazioni di secondo grado, rinforzando in questo modo la loro opinione che la matematica funzioni così: ci sono delle formule che se imparate a memoria possono risolvere il tuo problema, se sai la formula vai avanti, altrimenti no.
Ma attenzione… colpo di scena! A dicembre del 2019 il matematico Po-Shen Loh ha pubblicato un articolo nel quale spiega un metodo per risolvere le equazioni di secondo grado che non richiede la memorizzazione della formula.
È incredibile come su un argomento così di base, conosciuto e risolto da centinaia di anni, ci sia stata una scoperta di questo tipo. Questa novità non cambia la nostra comprensione delle equazioni di secondo grado, ma potrebbe cambiare il modo in cui si insegna a risolverle.
Vediamo allora come funziona questo metodo e come si applica in alcuni casi pratici.
Il metodo
Come primo passo osserviamo che a partire dalla forma $ax^2+bx+c=0$ possiamo sempre dividere per $a$ e riscrivere l’equazione nella forma $x^2+Bx+C=0$ (se $a=0$ l’equazione non è di secondo grado). Se indichiamo con $x_1$ e $x_2$ le due soluzioni possiamo anche riscrivere l’equazione come
$(x-x_1)(x-x_2)=0$
oppure svolgendo il prodotto
$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$
Per cui (come è abbastanza noto) le soluzioni sono due numeri di cui conosciamo la somma e il prodotto. La somma è il coefficiente del termine in $x$ cambiato di segno e il prodotto è il termine noto.
Come trovare questi due numeri? Possiamo immaginare di scrivere le due soluzioni come
$x_1=m + d$
$\displaystyle x_2=m – d$
dove $m$ è la loro media e $d$ è lo spostamento dalla media. Se troviamo $m$ e $d$ abbiamo trovato anche $x_1$ e $x_2$. Indichiamo con $S$ e $P$ la somma e il prodotto delle due soluzioni, vediamo che ricavare $m$ e $d$ è molto facile!
La media sarà uguale alla somma divisa per 2 (si calcola così la media tra due numeri!)
$\displaystyle m = \frac{S}{2}$
Allora le due soluzioni sono del tipo $S/2+d$ e $S/2-d$ e possiamo ottenere $d$ dal loro prodotto.
$\displaystyle P=\left(\frac{S}{2}+d\right)\left(\frac{S}{2}-d\right) = \frac{S^2}{4} – d^2$
da cui troviamo
$\displaystyle d=\sqrt{\frac{S^2}{4}-P}$
(prendere il segno positivo o negativo della radice ha il solo effetto di scambiare tra loro le soluzioni per cui è indifferente e possiamo prendere quello positivo).
Dalla somma e dal prodotto possiamo allora calcolare facilmente $x_1$ e $x_2$ come
$\displaystyle x_1=m + d = \frac{S}{2} + \sqrt{\frac{S^2}{4}-P}$
$\displaystyle x_2=m – d = \frac{S}{2} – \sqrt{\frac{S^2}{4}-P}$
Se il termine sotto radice è positivo abbiamo due soluzioni reali mentre se il termine è negativo otteniamo le due soluzioni complesse coniugate.
Esempi
La spiegazione teorica potrebbe far sembrare il metodo più complicato di quello che è. Vediamo un paio di casi pratici per capire come si usa e per vedere quanto facile sia da utilizzare.
Esempio 1
Risolviamo l’equazione
$x^2-4x-60=0$
La somma delle soluzioni è 4 per cui la loro media è la metà
$\displaystyle m = \frac{4}{2}=2$
Le soluzioni sono allora del tipo $2+d$ e $2-d$, non ci rimane che trovare $d$.
Il prodotto delle soluzioni è uguale al termine noto -60.
$(2+d)(2-d) = -60$
da cui ricaviamo facilmente $d$
$4-d^2=-60$
$d=\sqrt{4+60}=\sqrt{64}=8$
Trovati $m=2$ e $d=8$ le soluzioni sono
$x_1 = 2+8 = 10$
$x_2 = 2-8 = -6$
Le soluzioni in questo caso si potevano trovare anche a tentativi cercando tra i divisori del termine noto, ma il metodo si può usare in tutti i casi, anche quando le soluzioni sono frazioni, numeri irrazionali o immaginari.
Esempio 2
Risolviamo l’equazione
$x^2-6x+4=0$
La somma delle soluzioni è 6 per cui la loro media è
$\displaystyle m = \frac{6}{2} = 3$
Le soluzioni sono del tipo $3+d$ e $3-d$ e moltiplicate tra loro danno 4 per cui
$9-d^2=4$
$d=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
Le soluzioni sono allora
$x_1 = 3+\sqrt{5}$
$x_2 = 3-\sqrt{5}$
Esempio 3
Risolviamo l’equazione
$x^2-10x+34=0$
La somma delle soluzioni è 10 per cui la loro media è
$\displaystyle m = \frac{10}{2} = 5$
Le soluzioni sono del tipo $5+d$ e $5-d$ e moltiplicate tra loro danno 34 per cui
$25-d^2=34$
$d=\sqrt{25-34}=\sqrt{-9}=3i$
Abbiamo in questo caso le soluzioni complesse
$x_1 = 5+3i$
$x_2 = 5-3i$
Commenti e conclusioni
Il metodo ideato da Po-Shen Loh è semplice da usare e non richiede la memorizzazione di alcuna formula. Piuttosto si tratta di imparare a svolgere un ragionamento a partire dai coefficienti dell’equazione.
A livello di didattica della matematica si tratta di una valida alternativa al classico modo di risolvere le equazioni di secondo grado nel quale più che imparare una formula si impara una procedura, un ragionamento.
La semplificazione che si ottiene può permettere (con i dovuti accorgimenti) di proporre l’argomento delle equazioni di secondo grado alla fine della terza media quando tutte le conoscenze algebriche necessarie a capire il metodo sono già state acquisite.
Qui potete trovare l’articolo di Po-Shen Loh ricco di altri commenti storici e didattici sulle equazioni di secondo grado: A Simple Proof of the Quadratic Formula.
P.S.
Alcune persone hanno commentato che il metodo parte dal presupposto che le due soluzioni esistano mentre non sempre è così. In realtà le due soluzioni nel campo dei numeri complessi esistono sempre per cui l’equazione è sempre scomponibile con le due soluzioni $x_1$ e $x_2$ che a volte sono reali, a volte sono complesse, per cui dal punto di vista formale il procedimento è corretto.
Per giustificare il passaggio della scomposizione a degli studenti che non conoscono i numeri complessi si potrebbe comunque dire che se le due soluzioni esistono allora necessariamente si possono trovare tramite questa procedura. Se poi durante lo svolgimento si ottiene la radice di un numero negativo allora l’equazione è impossibile (nei reali).
