Cos’è la matematica?

Cos’è la matematica? Tutti la conosciamo, ma non è affatto semplice definirla. È un argomento sul quale molti matematici e filosofi più autorevoli di me hanno già espresso la loro opinione e che probabilmente non ha una risposta definitiva (vedi l’interessante articolo di wikipedia Definitions of mathematics).

Recentemente ho letto un interessante articolo su Quora (per chi non lo conoscesse Quora è un sito dove gli utenti possono inserire domande o rispondere a domande di altri utenti) nel quale mi sono imbattuto in questa frase:

La matematica è lo studio delle strutture concettuali separate dal loro contesto.

A scrivere è Arseniy Sheydvasser, ricercatore di matematica dell’università di New York, cerchiamo di capire il significato di questa frase.

Concetti matematici comuni

I concetti matematici si usano in contesti molto diversi tra loro. Ad esempio, i numeri possono rappresentare valori di diverse grandezze: lunghezza, tempo, massa, ma anche denaro o taglia dei pantaloni. Quando studiamo i numeri in modo indipendente dal contesto allora stiamo facendo matematica.

Altri oggetti matematici molto generali sono ad esempio:

• gli insiemi: aiutano a lavorare con il concetto di “gruppo di elementi” indipendentemente da quale sia la natura degli elementi;
• le operazioni: vuoi sommare 4 sedie con altre 2 sedie? Fa 6 sedie, ma il risultato è lo stesso per qualsiasi tipo di oggetto;
• le figure geometriche: aiutano a calcolare le lunghezze, le aree e i volumi a seconda della forma dell’oggetto ma in modo indipendente dal contesto (l’area di un rettangolo si calcola sempre con la stessa formula indipendentemente che si tratti di un foglio, di una stanza o di un terreno);
• la rappresentazione dei dati e le analisi statistiche: i grafici e le analisi usate in statistica sono molto simili in tutti i campi di applicazione (medicina, sociologia, economia, fisica, biologia, …)

Secondo questo punto di vista quindi i concetti matematici sono le idee astratte che rimangono dopo che si sono tolte tutte le informazioni che caratterizzano il particolare contesto.

È una prospettiva interessante, che rende la matematica simile a una “cassetta degli attrezzi” formata da idee generali che possono essere usate all’occorrenza in diverse situazioni.

Questa sua universalità permette alla matematica di creare dei “ponti” concettuali tra situazioni apparentemente molto diverse. Vediamo alcuni esempi interessanti di questi collegamenti inaspettati.

La chitarra e le sospensioni delle auto

Cos’hanno in comune una corda di chitarra e le sospensioni di un’auto? Queste due situazioni fisiche sono descritte dalla stessa equazione differenziale e tecnicamente si chiamano oscillatori smorzati. I sistemi di questo tipo presentano delle oscillazioni periodiche che un po’ alla volta vengono attenuate da delle forze di attrito.

La corda quando viene pizzicata vibra per un po’ con ampiezze sempre minori fino a fermarsi, l’ammortizzatore (dopo che abbiamo preso una buca) fa oscillare la macchina per poi stabilizzarla nuovamente.

Ambiti molto diversi ma stesse equazioni e stesso comportamento.

Molecole e indici di borsa

Immaginiamo una scatola chiusa con all’interno un gas. Le molecole del gas si muovono dentro alla scatola seguendo delle traiettorie molto complicate, esse cambiano continuamente direzione a causa degli scontri con le altre molecole in un intricato biliardo microscopico.

I matematici sono riusciti a descrivere in modo rigoroso questi tipi di movimenti attraverso quello che si chiama processo di Wiener. Questo concetto viene usato per descrivere il movimento degli atomi, ma anche l’andamento degli indici di borsa, tanto che è alla base di alcuni modelli matematici usati per dare un prezzo a delle operazioni finanziarie particolarmente complesse (vedi l’articolo Matematica e derivati finanziari).

Il pallone da calcio e i fullereni

Eulero scoprì una relazione che collega tra loro il numero di facce, il numero di vertici e il numero di spigoli di un poliedro. Da questa formula si può dedurre che se cerchiamo di costruire un pallone usando pezzi di cuoio esagonali e pentagonali, bisognerà sempre essere esattamente 12 pentagoni per riuscire a chiudere il pallone, indipendentemente da quanti esagoni si usano.

Questo genere di vincoli è valido anche per delle grosse molecole sferiche chiamate fullereni che, proprio come i palloni, devono sottostare alle regole della matematica. Grazie a queste formule i chimici sanno quali tipi di fullereni si possono formare e quali invece sono impossibili.

Riflessioni finali

Sembra quasi un paradosso che nonostante questo suo essere trasversale e utile in diversi campi, la matematica venga spesso vista dagli studenti come una materia scollegata dalla realtà.

Immagino che questa convinzione sia dovuta al modo in cui viene presentata la materia, spesso concentrandosi sul formalismo e sullo svolgimento di esercizi astratti (scomponi il polinomio, risolvi l’equazione, dimostra che il triangolo è isoscele…).

Se nel parlare dei concetti matematici si rimane sempre sul livello astratto delle definizioni matematiche, difficilmente lo studente riuscirà a cogliere l’universalità di quelle idee.

Penso sia importante, di tanto in tanto, usare un linguaggio più informale, per far capire quale idea “concreta” si vuole rappresentare con un determinato concetto matematico.

Per fare un esempio, uno di concetti che trovo più ricco di potenziali casi reali, è quello di funzione che astrae il concetto di collegamento tra input e output:

• il costo di un rifornimento di benzina è una funzione del volume di carburante che metto nell’auto
• lo spazio di frenata di un’auto è una funzione della velocità
• il codice fiscale si ottiene da una funzione che prende come input il nostro nome, cognome e dati anagrafici
• la quantità di tasse che paghiamo sul reddito è una (complicata!) funzione del reddito
• il premio di produzione di un commerciale è una funzione del numero delle vendite che ha effettuato
• una legge elettorale è una funzione che ha come input i voti degli elettori e come output la composizione del parlamento

Astrazione e generalizzazione, queste caratteristiche della matematica vennero sintetizzate dal matematico Henri Poincaré nella frase:

la matematica è l’arte di dare lo stesso nome a cose diverse.

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L’immagine di copertina è di Gerd Altmann da Pixabay.