Avvertenza: dopo aver letto questo post scegliere la verdura al supermercato non sarà mai più come prima.
Qualche giorno fa stavo pelando delle carote per preparare la cena. Mano a mano che le sbucciavo notavo quanto dello spessore originario della carota stavo perdendo assieme alla buccia.
La carota pelata era visibilmente più sottile di quella originaria.
In quel momento la mia deformazione professionale mi ha fatto venire un’intuizione: più una verdura è sferica, minore è la quantità che viene eliminata dall’operazione di sbucciatura.
Vediamo in dettaglio cosa voglio dire.
Quanta patata viene eliminata?
Ipotizziamo che pelare una verdura equivalga a togliere un piccolo strato di spessore $dx$ alla superficie di una verdura con superficie $S$ e volume $V$.
Il volume eliminato dalla sbucciatura si può approssimare con $dx\cdot S$ per cui la proporzione di volume eliminato rispetto al volume totale è dato da:
$$ \displaystyle \frac{\text{VolumeEliminato}}{\text{VolumeTotale}} = \frac{dx \cdot S}{V}$$
Se si usa sempre lo stesso sbuccia verdure il valore di $dx$ è costante, normalmente $dx$ potrebbe essere pari a un paio di millimetri.
Quindi, dato lo sbuccia verdure, il volume eliminato è proporzionale al rapporto $S/V$.
Come è noto la figura geometrica che ha il minor rapporto $S/V$ è la sfera.
La dimostrazione di questo fatto consegue dalla analoga proprietà del cerchio di essere la figura geometrica piana che massimizza l’area a parità di perimetro.
La disuguaglianza isoperimetrica
Dimostrare questa proprietà non è così banale come potrebbe sembrare. Il primo a ottenere dei risultati in questo senso fu il matematico Jacob Steiner nel 1838 e altri matematici successivi completarono la dimostrazione.
Le due idee principali che stanno dietro alla dimostrazione sono le seguenti:
1) se una figura piana è concava esiste un’altra figura piana con lo stesso perimetro ma con area maggiore
2) una figura geometrica che non è completamente simmetrica può essere deformata per ottenere un’altra figura piana con lo stesso perimetro ma con area maggiore
Come conseguenza di 1) e 2) la figura geometrica piana che a parità di perimetro ha l’area maggiore deve essere convessa e avere la maggiore simmetria possibile ed è quindi la circonferenza (questa è solo una traccia della dimostrazione).
Questo risultato è noto con il nome di disuguaglianza isoperimetrica: ogni curva chiusa di perimetro $L$ e area $A$ soddisfa:
$$4\pi A \leq L^2$$
e l’uguaglianza vale solamente per la circonferenza.
Date queste premesse si ha il seguente risultato:
Corollario dello sbuccia verdura alla disuguaglianza isoperimetrica: a parità di volume più una verdura è simile a una sfera meno viene sprecato con la sbucciatura.
Questa affermazione è in realtà un po’ vaga poiché non ho definito in modo rigoroso cosa vuol dire “più simile a una sfera”, ma intuitivamente penso che il significato sia abbastanza chiaro.
Di conseguenza, se dovete scegliere tra due patate di uguale massa ma forma diversa, prendete quella che sembra essere più sferica e perderete meno “materiale” quando la sbuccerete.
E se si tratta di un sacchetto di patate?
Se invece dovete comprare un intero sacchetto di patate di diverse dimensioni le cose diventano più complicate.
In questo caso infatti per minimizzare lo spreco bisognerebbe valutare per quale sacchetto si ha, a parità di massa, la più piccola superficie totale (ottenuta sommando le superfici di tutte le patate). Un sacchetto con due grosse patate per niente sferiche potrebbe avere una superficie totale minore di un sacchetto con molte patate perfettamente sferiche.
Facendo così otterrete anche un’altra piacevole conseguenza: oltre che a minimizzare lo spreco minimizzerete anche il tempo necessario per pelare tutte queste patate! Il tempo per pelare le patate è infatti proporzionale alla superficie.
Ricordatevi di queste considerazioni la prossima volta che comprerete un sacco di patate!
