Il problema del divano: una questione ancora aperta

Introduzione

Situazione tipica: si vuole spostare un divano o un mobile da una stanza ad un’altra, si va un po’ a tentativi e ad un certo punto si rimane incastrati nel corridoio o a metà di una porta. Questo è il momento in cui di solito ogni partecipante ha una idea diversa su quali manovre effettuare per sbloccare la situazione!

Esiste un problema matematico che descrive una situazione del tutto simile, si chiama il problema del divano e non è stato ancora risolto in modo completo.

Immaginiamo che ci sia un corridoio che ad un certo punto forma un angolo di 90 gradi e che la larghezza del corridoio sia la stessa prima e dopo dell’angolo.

Il problema consiste nel trovare la forma con la superficie massima che possa superare l’angolo del corridoio.

Ad esempio, un quadrato con il lato uguale alla larghezza del corridoio può riuscirci facilmente, senza dover ruotare.

Se immaginiamo che la larghezza del corridoio sia uguale a 1 l’area del quadrato sarà a sua volta pari a $1\cdot 1=1$.

Si può trovare facilmente una figura con superficie più grande del quadrato che possa superare l’angolo, basta prendere un semicerchio di diametro uguale a 2 e farlo ruotare quando il suo centro raggiunge l’angolo.

L’area di un cerchio è data dalla formula $A=\pi r^2$, per trovare l’area del semicerchio dobbiamo quindi porre $r=1$ e prendere la metà. Otteniamo allora:

$$\frac{1}{2} \pi\cdot 1^2= \frac{\pi}{2}\approx 1,57$$

e quindi l’area del semicerchio è più grande di quella del quadrato.

Si può migliorare ancora? Qual è la forma che passa dall’angolo e ha la superficie massima? Questo è il problema del divano!

Soluzioni non banali

Nel 1968 il matematico John Hammersley trovò una particolare figura a forma di cornetta del telefono che può superare l’angolo e che ha una superficie pari a 2,207.

Il divano di Hammersley, per quanto non banale, è definito in modo tutto sommato abbastanza semplice, usando tre segmenti e tre archi di circonferenza.

Nel 1992 Joseph Gerver costruì una forma molto simile a quella di Hammersley e che riusciva ad aumentare ulteriormente la superficie fino a circa 2,219. Questa particolare forma, tuttavia, è molto più complessa da definire, è formata da ben 18 linee collegate tra loro.

Guardando attentamente il divano di Gerver si nota che alcuni vertici sono smussati rispetto a quello di Hammersley, questo permette di recuperare piccole porzioni di area in altre parti del divano.

Un problema ancora aperto

Dopo al risultato ottenuto da Gerver nel 1992 i matematici non hanno ottenuto alcun ulteriore miglioramento e tuttora il problema del divano rimane aperto.

In questi anni, infatti, nessuno è riuscito a dimostrare che la soluzione di Gerver sia effettivamente la migliore possibile, ma nemmeno si è riusciti a trovare un esempio di una soluzione con un’area più grande.

Nel 2017 due matematici hanno dimostrato che una forma che riesca a superare l’angolo non potrà avere superficie maggiore di 2,37, ma tra questo valore e la superficie del divano di Gerver di 2,219 rimane ancora del margine.

Sono anche state svolte delle simulazioni tramite computer e, attraverso degli opportuni algoritmi, sono state cercate delle forme alternative, ma queste ricerche hanno portato a delle forme sostanzialmente indistinguibili da quella trovata da Gerver nel 1992.

Ci sono quindi dei motivi per credere che il divano di Gerver sia effettivamente il migliore possibile, ma finché non avremo una dimostrazione non ne saremo sicuri al 100%.

Ecco alcuni link per approfondire l’argomento:

• Wikipedia, Il problema del divano: https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_del_divano
• Moving Sofa Problem sul si to Mathworld: https://mathworld.wolfram.com/MovingSofaProblem.html
• Un bel video (in inglese) del canale YouTube Numberphile: https://youtu.be/rXfKWIZQIo4