Questa è una domanda classica degli studenti alle prese con i numeri primi: perché 1 non è un numero primo?
Spesso si dice che i numeri primi sono quelli divisibili solamente per 1 e per sé stessi, ma allora il numero 1 non dovrebbe rientrare in questa categoria?
La risposta a questi dubbi ci mostrerà un aspetto della matematica di cui raramente si parla.
Un po’ di storia
Il dubbio sul fatto che 1 sia o no un numero primo è del tutto legittimo. In passato anche i matematici erano piuttosto confusi su quali numeri considerare primi.
Nel medio evo e nel rinascimento alcuni matematici lo consideravano un numero primo e altri no. Ancora a metà del 1700 il matematico Christian Goldbach (quello della famosa congettura, vedi wikipedia: congettura di Goldbach) considerava 1 un numero primo.
Nel corso dell’800 una maggioranza sempre più ampia di matematici non considerava 1 un numero primo. Nonostante questo, ancora ai primi del ‘900 vennero pubblicati dei libri di matematica che sostengono il contrario (ad esempio il libro “A Course of Pure Mathematics” del matematico G. H. Hardy, fino alla sua ristampa del 1933 indicava il numero 1 come primo).
Diverse definizioni
Il fatto che 1 sia da considerare o no un numero primo dipende dalla definizione che diamo di numero primo. Quella più diffusa è la seguente.
Definizione 1: un numero si dice primo se è divisibile solamente per 1 e per sé stesso.
Se si utilizza questa definizione 1 sarà compreso tra i numeri primi perché è divisibile solamente per 1 e per sé stesso. Il fatto che “1” e “sé stesso” per il numero 1 si riferiscano allo stesso valore non è una buona motivazione per escluderlo. Se proprio vogliamo fare in modo di eliminarlo dai numeri primi possiamo modificare leggermente la definizione.
Definizione 2: un numero si dice primo se è maggiore di 1 ed è divisibile solamente per 1 e per sé stesso.
La definizione risulta un po’ macchinosa ma efficace. Un modo un po’ più elegante di definire i numeri primi è invece:
Definizione 3: un numero si dice primo se l’insieme dei suoi divisori ha 2 elementi.
Ad esempio il numero 17 ha due divisori, 1 e 17, e per questo motivo 17 è un numero primo. Il numero 9 ha invece tre divisori: 1, 3, 9, e per questo motivo non è un numero primo.
L’insieme dei divisori di 1 contiene un solo elemento (l’uno stesso) per cui, secondo questo approccio, 1 non è un numero primo perché ha meno divisori rispetto ai due richiesti.
Di solito gli studenti messi davanti a questa definizione si accontentano della spiegazione e accettano il fatto che 1 non sia primo. Potrebbe però rimanere un dubbio: perché è stata scelta questa definizione? Perché tutta questa cattiveria nel voler escludere il numero uno da questo gruppo?!
Siamo noi a costruire la matematica!
La risposta a queste domande è che sta a noi decidere, secondo la nostra convenienza, quali numeri chiamare primi.
Le definizioni della matematica non sono state scritte sulla pietra da una qualche divinità, sono state decise da noi o meglio dai matematici che ci hanno preceduto.
Come fanno allora i matematici a capire quali sono le definizioni più opportune? Per stabilirlo i matematici valutano quali sono le proprietà che derivano da una certa definizione. Le definizioni vengono allora scelte in modo che gli oggetti definiti abbiano delle proprietà interessanti o in modo che ci permettano di esprimere certi concetti più semplicemente.
Tornando al nostro caso, indipendentemente da come si definisce cosa sia un numero primo, è opportuno che l’1 venga escluso, per molti motivi, primo tra tutti per poter esprimere in modo più semplice il teorema fondamentale dell’aritmetica.
Questo teorema si esprime solitamente in questo modo: ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o si può scrivere in un unico modo come prodotto di numeri primi.
Se l’1 fosse un numero primo potremmo usarlo nella scomposizione in fattori primi e allora qualsiasi numero si potrebbe scomporre in diversi modi. Ad esempio il numero 6 potrebbe essere scritto come $6 = 2\cdot 3$ oppure come $6 = 1\cdot 2\cdot 3$ oppure come $6 = 1\cdot 1\cdot 2\cdot 3$.
Il fatto che un numero sia scomponibile in modo unico in fattori primi è importante per dimostrare molte proprietà dei numeri e allora bisogna fare in modo che l’1 non sia un numero primo.
In alternativa potremmo anche ammettere che il numero 1 sia primo, ma allora dovremmo esprimere il teorema fondamentale dell’aritmetica (e molte altre proprietà) dicendo: ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi diversi da 1.
Ma perché complicarsi la vita obbligandoci a specificare che i numeri nella scomposizione in fattori primi devono essere diversi da 1? Meglio escludere il numero uno dalla definizione di numero primo e rendere più semplice la frase che esprime il teorema!
Si tratta quindi di una scelta dettata da un criterio di semplicità e convenienza.
Considerazioni finali
La matematica è spesso vista come un campo in cui non c’è margine di scelta, dibattito o creatività. Una realtà oggettiva da accettare e di cui prendere atto.
Questa impressione è dovuta al fatto che per la maggior parte del tempo studiamo argomenti di matematica che sono ormai consolidati e sui quali, dopo vari tentativi avvenuti nel passato, abbiamo già raggiunto un consenso riguardo alle definizioni che funzionano meglio.
Il processo di creazione della matematica è invece un’arte simile all’invenzione di un gioco. Bisogna decidere delle regole abbastanza elaborate da fare in modo che il gioco risulti interessante, ma che allo stesso tempo non siano inutilmente complicate da farci perdere energie su questioni di scarsa importanza.
Si può dire che la matematica è il risultato del cercare le più semplici regole che generano la massima ricchezza.
Riferimenti
- Wikipedia: Prime number, primality of one
- Per dettagli storici sul considerare 1 come un numero primo: What is the smallest prime? Chris K. Caldwell, Yeng Xiong, Journal of Integer Sequences, Vol 15 (2012), Article 12.9.7.
