Lo sappiamo tutti fin dalla scuola media, eppure, sareste in grado di spiegare perché “meno per meno fa più”?
Introduzione
Quando studiamo la moltiplicazione tra numeri relativi spesso si mostra una tabella per far capire come i segni dei due fattori determinano il segno del prodotto.
Nel caso di due numeri positivi non abbiamo alcun dubbio, il risultato sarà positivo.
Nel caso in cui uno solo dei due segni sia negativo, il fatto cioè che “più per meno fa meno” si può giustificare con dei semplici ragionamenti. Prendiamo ad esempio una situazione in cui misuriamo l’altezza di un corpo rispetto al mare e associamo a numeri positivi un’altezza sopra al livello del mare e a numeri negativi una profondità sotto al livello del mare.
Se ci troviamo a 10 metri sotto al livello del mare, cioè nella posizione -10 e immaginiamo di raddoppiare la profondità dobbiamo arrivare alla posizione -20. Perciò è naturale accettare che il doppio di -10 sia -20 e quindi che
$2\cdot(-10) = -20$
Un altro motivo per giustificare questa regola si ha se interpretiamo numeri positivi come crediti e numeri negativi come debiti, è naturale che raddoppiando un debito di 10 euro si ottenga un debito di 20 euro.
La parte meno intuitiva della regola dei segni è il fatto che “meno per meno fa più”, cioè che moltiplicando due numeri negativi si ottenga un numero positivo.
Vediamo allora un paio di situazioni in cui moltiplichiamo tra loro due grandezze negative in modo da spiegare il senso di questa regola.
Motivo fisico (velocità e tempo negativi)
Immaginiamo di avere un oggetto che si muove lungo una retta con velocità costante. La sua posizione in funzione del tempo è data dalla formula
$x=v\cdot t$
dove $v$ è la velocità e $t$ è il tempo.
Ad esempio, se la velocità è 3 metri al secondo, avremo $x=3\cdot t$. Questo significa che:
- al tempo $t=0$ l’oggetto si trova in $x=0$
- dopo un secondo, al tempo $t=1$, si trova in $x=3$
- dopo un altro secondo, al tempo $t=2$, si trova in $x=6$.
Possiamo anche “andare indietro nel tempo” e cercare di capire cosa succede prima di $t=0$. Ad esempio:
- un secondo prima, cioè in $t=-1$, il corpo si trova in $x=-3$
- andando indietro di un altro secondo, cioè in $t=-2$, si trova in $x=-6$.
Immaginando la classica retta dei numeri con i numeri positivi a destra e quelli negativi a sinistra questo è il moto di un corpo che si muove da sinistra verso destra con velocità costante e che al tempo $t=0$ passa per la posizione $x=0$.
Possiamo anche descrivere il movimento di un corpo che si muove invece da destra verso sinistra a velocità costante, basta utilizzare una velocità negativa, ad esempio $x=-3\cdot t$. In questo caso:
- in $t=0$ si trova in $x=0$
- in $t=1$ si trova in $x=-3$
- in $t=2$ si trova in $x=-6$.
Cosa succede adesso per i tempi che precedono $t=0$? Dobbiamo immaginare di andare indietro nel tempo rispetto a questo tipo di movimento. Se il corpo si muove verso sinistra è naturale immaginare che un secondo prima di passare in $x=0$ il corpo sia nella posizione $x=3$ e che in $t=-2$ il corpo sia nella posizione $x=6$.
Questo vuol dire che nella formula $x=v\cdot t$ facendo il prodotto tra una velocità negativa (-3) e un tempo negativo (-2) dobbiamo ottenere il risultato positivo di $x=+6$.
La regola per cui “meno per meno fa più” è coerente con il nostro modo di descrivere i movimenti tramite coordinate e tempi che possono essere positivi o negativi.
Motivo economico (debiti in valute estere)
Per convertire una quantità di denaro espressa in dollari nella corrispondente quantità in euro dobbiamo moltiplicare il valore per il tasso di cambio.
$N_{\text{€}}=N_{\text{\$}}\cdot C$
Se il tasso di cambio $C$ varia nel tempo, pur tenendo fissa la quantità in dollari, avremo una variazione nella quantità di denaro espressa in euro. Possiamo quindi scrivere una formula che collega la variazione della quantità espressa in euro $\Delta N_{\text{€}}$ con la variazione del tasso di cambio $\Delta C$.
$\Delta N_{\text{€}}=N_{\text{\$}}\cdot \Delta C$
Prendiamo ora l’esempio di una azienda italiana che ha un debito (in seguito ad uno scambio di beni o servizi) nei confronti di un’azienda statunitense per una certa quantità di dollari, diciamo 10.000 $.
L’azienda italiana metterà a bilancio un debito in euro usando il tasso di cambio ad una certa data, ad esempio se il cambio è 0,92 euro per un dollaro, allora il debito è di 9.200 euro.
Un anno dopo il debito non è ancora stato saldato ma nel frattempo il cambio è passato da 0,92 a 0,88 euro per un dollaro, per cui il debito ora è di 8800 euro. La variazione del debito è pari a:
$\Delta N_{\text{€}}=N_{\text{\$}}\cdot \Delta C = -10.000 \cdot (0,88 – 0,92) = -10.000 \cdot (- 0,04) = +400$
Una variazione negativa del tasso di cambio moltiplicata per un debito deve dare una variazione positiva. In termini di euro è come se l’azienda avesse guadagnato 400 euro.
(Grazie a Leonardo Tommasi per avermi suggerito questo esempio!)
Motivo matematico
Quelli che abbiamo appena visto sono dei motivi pratici per assumere che il prodotto di due numeri negativi sia un numero positivo.
La motivazione matematica per usare questa regola è fare in modo che la proprietà distributiva del prodotto valga anche con i numeri negativi.
Vogliamo infatti che le proprietà di base delle operazioni valgano per tutti i numeri, compresi quelli negativi.
Prendiamo un qualsiasi numero negativo, ad esempio $-3$. Se moltiplichiamo questo numero per zero otteniamo zero.
$ -3\cdot 0=0 $
Nella moltiplicazione al posto del numero zero possiamo mettere la somma di due numeri opposti, ad esempio $2 +( – 2)$. Facendo questa sostituzione e applicando la proprietà distributiva otteniamo:
$ -3\cdot (2+(-2))=-3\cdot 2+(-3)\cdot(-2)= -6 + (-3)\cdot(-2)$
Questo calcolo deve dare lo stesso risultato di prima, cioè zero. L’unica possibilità è allora che la moltiplicazione $(-3)\cdot(-2)$ abbia come risultato il valore $+ 6$.
Conclusioni e commenti
Abbiamo visto due motivazioni pratiche per cui ha senso assumere che il prodotto di due numeri negativi sia un numero positivo e infine una motivazione più strettamente matematica.
Ai nostri giorni il concetto di numero negativo è ormai assodato e viene insegnato già alle scuole elementari e medie ma nel passato non è sempre stato così.
Gli antichi matematici greci, che ragionavano spesso in termini di figure geometriche, non prendevano in considerazione possibili risultati negativi nei loro problemi.
I primi ad utilizzare i numeri negativi furono i matematici cinesi nel terzo secolo (ma rifacendosi forse a tradizioni più antiche). Di seguito anche i matematici indiani e arabi utilizzarono questi numeri nei loro problemi (rispettivamente nel settimo e nono secolo).
Solo attorno al 1200 l’idea di numero negativo cominciò a circolare in Europa (assieme al sistema di numerazione indo-arabo e al concetto di zero) grazie al lavoro del matematico italiano Fibonacci.
Da qui in poi in Europa ci fu un cammino di graduale accettazione di questi numeri che si concluse in modo definitivo solamente verso la metà del 1800!
Per tutto il 1700 era ancora comune tra i matematici ignorare le soluzioni negative delle equazioni perché venivano considerate “senza senso”.
Alcuni storici hanno ipotizzato che l’idea filosofica orientale della dualità della natura, della coesistenza del bene e del male, abbia reso il concetto di numero negativo più accettabile per i matematici orientali rispetto a quelli europei.
Riferimenti
Wikipedia: Negative_number, il particolare la parte dedicata alla storia dei numeri negativi.
