Capitolo 1
Esercizio 1.1 Il primo scalino ha un mattoncino, il secondo 2, il terzo 3… Per arrivare al decimo scalino serve un numero di mattoncini pari alla somma dei primi 10 numeri. Utilizzando la formula otteniamo una somma pari a $10\cdot 11/2=55$ per cui Bruno riuscirà a costruire la sua scala.
Esercizio 1.2 Nella prima metà della giornata i rintocchi saranno pari alla somma dei numeri da 1 a 12. Nella seconda metà della giornata avremo una stessa quantità di rintocchi. La somma dei numeri da 1 a 12 è pari a $12\cdot 13/2 = 78$. Nell’arco di 24 ore i rintocchi saranno allora il doppio, cioè 156.
Esercizio 1.3 La somma di tutti i numeri da 1 a 90 è pari a $90\cdot 91/2 = 4095$. Se i numeri presenti danno come somma 4072 allora il numero mancante si ottiene calcolando la differenza tra la somma totale e la somma di quelli presenti $4095-4072=23$.
Capitolo 2
Esercizio 2.1 La differenza sta nel diverso modo in cui viene usato il primo simbolo dell’elenco, nel caso dei numeri lo zero e nel caso delle lettere la lettera A. Dopo l’ultima lettera dell’elenco, la lettera D, troviamo la coppia AA, mentre il numero successivo a 9 viene indicato con 10, non con 00. Il numero 0 serve per capire se una posizione delle unità, decine, centinaia è “vuota” o “occupata” per cui aggiungere zeri a sinistra del numero non ne cambia il valore, mentre la lettera A fa ottenere una stringa diversa anche quando è aggiunto a sinistra di altre lettere.
Esercizio 2.2 I numeri trasformati in decimale sono: 2, 5, 8, 10, 11, 22, 44. Gli ultimi due numeri binari sono ottenuti aggiungendo uno zero in fondo al numero precedente per cui il valore risulta essere il doppio del precedente.
Esercizio 2.3 I numeri trasformati in binario sono: 11, 100, 111, 1111, 10000, 10111, 11000, 11001, 11111, 100000, 100001.
Esercizio2.4 Se hai difficoltà guarda questo video.
Esercizio 2.5 La somma tra i due numeri binari dà come risultato 100010. I due numeri di partenza convertiti in decimale sono 13 e 21 mentre il risultato convertito è il numero 34 che è la loro somma.
Esercizio 2.6 Il numero 372 convertito in binario corrisponde a 101110100. Togliendo due zeri otteniamo il numero 1011101 che convertito in decimale è 93. Il valore corrisponde al risultato della divisione di $372:4$.
Esercizio 2.7 Il prodotto effettuato tra numeri binari dà come risultato 11011101. I due fattori corrispondono ai numeri 13 e 17. Il risultato convertito è 221 che corrisponde al prodotto tra 13 e 17.
Esercizio 2.8 Conviene usare il numero che ha più zeri come secondo numero della moltiplicazione per ridurre il numero di righe da dover sommare tra loro.
Capitolo 3
Esercizio 3.1 La formula per la massa è:
$$M=D\cdot V$$
Esercizio 3.2 La formula per $d_2$ è:
$$d_2 = \frac{2A}{d_1}$$
Esercizio 3.3 La formula per calcolare il raggio è:
$$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$$
Esercizio 3.4 La formula per calcolare la distanza tra le due masse è:
$$r = \sqrt{G\frac{M_1\cdot M_2}{F}}$$
Capitolo 4
Esercizio 4.1 Ogni giorno l’alga occupa una superficie doppia rispetto al giorno precedente. Il giorno precedente ad aver coperto tutto il lago allora l’alga occupava giusto la metà del lago, quindi 79 giorni.
Capitolo 5
Esercizio 5.1 Ogni volta che si muove la pedina in verticale o in orizzontale di una casella si raggiunge una casella di colore diverso rispetto a quella di partenza. Se si vuole passare da tutte le caselle una sola volta e si parte da una bianca l’ultima casella raggiunta sarà nera. Le caselle di due angoli opposti sono però dello stesso colore, per questo motivo non è possibile trovare un percorso che porti da un angolo all’altro e che passi per tutte le caselle una volta soltanto.
Capitolo 6
Esercizio 6.1 Provando a seguire il muro si ritorna al punto di partenza. Questo significa che la parte centrale del labirinto non è collegata al muro esterno.
Capitolo 7
Esercizio 7.1
13:5 = 2,6
21:5 = 4,2
27:5 = 5,4
58:5 = 11,6
72:5 = 14,4
Esercizio 7.2 Per eseguire una moltiplicazione per 5 si può moltiplicare per 10 e poi dividere per 2 (queste due operazioni si possono anche invertire).
Esercizio 7.3 17:4 decimale limitato, 14:3 decimale periodico, 20:7 decimale periodico, 13:6 decimale periodico
Esercizio 7.4
$0,\overline{4} = \frac{4}{9}$
$0,\overline{68} = \frac{68}{99}$
$2,\overline{6} = 2+0,\overline{6} = 2+\frac{6}{9} = 2+\frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$
Troviamo la frazione generatrice di $47,\overline{5}$
$47,\overline{5} = 47+0,\overline{5} = 47+\frac{5}{9} = \frac{423}{9} + \frac{5}{9} = \frac{428}{9}$
Allora la frazione generatrice di $4,7\overline{5}$ sarà
$\frac{428}{90}$
$1,\overline{15} = 1+0,\overline{15} = 1+\frac{15}{99} = 1+\frac{5}{33} = \frac{33}{33} + \frac{5}{33} = \frac{38}{33}$
Esercizio 7.5
16:9 fa 1 con resto 7 per cui $16:9=1,\overline{7}$
17:9 fa 1 con resto 8 per cui $17:9=1,\overline{8}$
23:9 fa 2 con resto 5 per cui $23:9=2,\overline{5}$
48:9 fa 5 con resto 3 per cui $48:9=5,\overline{3}$
65:9 fa 7 con resto 2 per cui $65:9=7,\overline{2}$
Esercizio 7.6
$\frac{5}{6}$: il denominatore è 6, si scompone in fattori primi come $2\cdot 3$, contiene fattori diversi da 2 o 5 e quindi corrisponde a un numero periodico.
$\frac{8}{25}$: il denominatore è 25, si scompone in fattori primi come $5^2$, contiene solamente il fattore 5 e quindi corrisponde a un numero limitato.
$\frac{3}{8}$: il denominatore è 8, si scompone in fattori primi come $2^3$, contiene solamente il fattore 2 e quindi corrisponde a un numero limitato.
$\frac{31}{40}$: il denominatore è 40, si scompone in fattori primi come $2^3\cdot 5$, contiene solamente fattori 2 e 5 e quindi corrisponde a un numero limitato.
$\frac{71}{60}$: il denominatore è 60, si scompone in fattori primi come $2^2\cdot 3 \cdot 5$, contiene fattori diversi da 2 o 5 e quindi corrisponde a un numero periodico.
Esercizio 7.7
Sì, è possibile che sia una frazione che il suo reciproco generino un numero periodico, basta che sia il numeratore che il denominatore scomposti in fattori primi contengano fattori diversi da 2 o 5. Ad esempio la frazione $\frac{14}{15}$ genera un numero periodico (il denominatore contiene il fattore 3) e anche il suo reciproco $\frac{15}{14}$ genera un numero periodico (il denominatore 14 contiene il fattore 7).
Esercizio 7.8
- no, non è possibile. Se i due numeri sono limitati significa che i denominatori delle corrispondenti frazioni generatrici contengono solamente fattori uguali a 2 o 5. Per la regola della moltiplicazione tra frazioni il prodotto sarà una frazione con denominatore che contiene solamente fattori uguali a 2 o 5.
- sì, è possibile. Basta che i fattori diversi da 2 o 5 presenti nei denominatori si semplifichino con dei fattori presenti nei numeratori. Ad esempio, nel prodotto $\frac{7}{15}\cdot\frac{3}{14} = \frac{1}{10}$, entrambi i fattori corrispondono a numeri periodici ma il risultato è un numero limitato.
- sì, è possibile. Basta che i fattori diversi da 2 o 5 presenti nel denominatore nella frazione generatrice del numero periodico si semplifichino con dei fattori presenti nel numeratore dell’altra frazione. Ad esempio, nel prodotto $\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{6} = \frac{1}{2}$, il primo fattore corrisponde ad un numero limitato, il secondo fattore ad un numero periodico e il risultato ad un numero limitato.
Esercizio 7.9
$5,\overline{6}+1,\overline{3} = 5+0,\overline{6}+1+0,\overline{3}=5+\frac{6}{9}+1+\frac{3}{9}=6+\frac{9}{9}=6+1=7$
$9,\overline{7}-6,\overline{8} = 9+0,\overline{7}-(6+0,\overline{8})=9+\frac{7}{9}-(6+\frac{8}{9})=9+\frac{7}{9}-6-\frac{8}{9} = 3-\frac{1}{9}=\ldots $
$\qquad \qquad \ldots =\frac{27-1}{9}=\frac{26}{9}=\frac{18+8}{9}=2+\frac{8}{9}=2+0,\overline{8}=2,\overline{8}$
$0,\overline{5}\cdot 3 = \frac{5}{9}\cdot 3=\frac{15}{9}=\frac{9+6}{9}=1+0,\overline{6}=1,\overline{6}$
$5,\overline{2}:0,\overline{3} = (5+0,\overline{2}):(0,\overline{3})=(5+\frac{2}{9}):\frac{3}{9})=\frac{47}{9}\cdot \frac{9}{3} = \frac{47}{3}=\frac{141}{9}=\ldots$
$\qquad\qquad \ldots=\frac{135+6}{9}=15+\frac{6}{9}=15+0,\overline{6}=15,\overline{6}$
Capitolo 8
Esercizio 8.1
$A \cup B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15 \right\}$
$A \cap B = \left\{ 4, 6, 12 \right\}$
Esercizio 8.2
$A \cup B = \left\{ c, g, e, p, r, k, s, m \right\}$ il risultato corrisponde all’insieme $A$.
$A \cap B = \left\{ s, g, r \right\}$ il risultato corrisponde all’insieme $B$.
Esercizio 8.3
$A \cup B = \left\{ x\mid x \text{ è un numero naturale} \right\}$
$A \cap B = \emptyset$
$A \cap C = \left\{ 2 \right\}$
$B \cap C = \left\{ x\mid x \text{ è un numero primo diverso da 2 }\right\}$
Esercizio 8.4
$A\cup \overline{A} = U$ unendo gli elementi che appartengono ad $A$ e quelli che non appartengono ad $A$ si ottiene tutto l’insieme universo.
$A\cap \overline{A} = \emptyset$ non ci sono elementi in comune tra $A$ e $\overline{A}$ per cui il risultato dell’intersezione è l’insieme vuoto.
Esercizio 8.5
Costruendo graficamente i risultati delle due operazioni si ottiene in entrambi in casi la zona esterna ad entrambi gli insiemi $A$ e $B$.
Capitolo 9
Esercizio 9.1
| $A$ | $B$ | $\overline{B}$ | $A\wedge \overline{B}$ |
| F | F | V | F |
| F | V | F | F |
| V | F | V | V |
| V | V | F | F |
Esercizio 9.2
| $A$ | $\overline{A}$ | $A\vee\overline{A}$ |
| V | F | V |
| F | V | V |
| $A$ | $\overline{A}$ | $A\wedge\overline{A}$ |
| V | F | F |
| F | V | F |
Nel primo caso si ottiene un’espressione sempre vera, nel secondo caso si ottiene un’espressione sempre falsa. Ha senso perché quando $A$ è vera $\overline{A}$ è falsa e viceversa. Per questo motivo se si usa l’operazione OR avremo sempre che una delle due è vera (“mi chiamo Giovanni oppure non mi chiamo Giovanni” è una frase sempre vera), mentre se si usa l’operazione AND non succederà mai che siano vere entrambe (“sono milionario e non sono milionario” è una frase sempre falsa).
Esercizio 9.3
| $A$ | $B$ | $A\vee B$ | $\overline{A\vee B}$ | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{A}\wedge \overline{B}$ |
| F | F | F | V | V | V | V |
| F | V | V | F | V | F | F |
| V | F | V | F | F | V | F |
| V | V | V | F | F | F | F |
Si vede che la colonna che corrisponde a $\overline{A\vee B}$ ha gli stessi valori di verità della colonna che corrisponde a $\overline{A}\wedge \overline{B}$.
Esercizio 9.4
A = “andiamo al lago”
B = “andiamo al cinema”
C = “mangiamo una pizza”
La frase “andiamo al lago o (andiamo al cinema e mangiamo una pizza)” corrisponde alla formula
$A\vee (B \wedge C)$
Usando le regole per la negazione si ottiene:
$\overline{A\vee (B \wedge C)} = \overline{A}\wedge (\overline{B} \vee \overline{C})$
che sotto forma di frase diventa:
“non andiamo al lago e (non andiamo al cinema o non mangiamo la pizza)”.
Esercizio 9.5
Indicando con $P$ l’insieme dei numeri primi possiamo scrivere la frase “ogni numero primo è dispari” come:
$\forall n \in P$ si ha che $n$ è dispari.
La sua negazione è:
$\exists n \in P$ tale che $n$ non è dispari.
Esercizio 9.6
Indicando con $P$ l’insieme dei numeri pari possiamo scrivere la frase “esiste un numero pari che è multiplo di 7” come:
$\exists n \in P$ tale che $n$ è multiplo di 7.
La sua negazione è:
$\forall n \in P$ si ha che $n$ non è multiplo di 7.
Esercizio 9.7
Indicando con $I$ l’insieme delle persone italiane, con $A$ la proposizione “alto 1,70 m” e con $B$ la proposizione “gioca nella nazionale di pallavolo” possiamo rappresentare la frase come:
$\exists x\in I$ tale che $x$ soddisfa $A$ $\wedge$ $x$ soddisfa $B$.
La sua negazione è:
$\forall x\in I$ si ha che $x$ non soddisfa $A$ $\vee$ $x$ non soddisfa $B$.
Il significato della negazione è che presa una qualsiasi persona italiana, questa persona non è alta 1,70 m oppure non gioca nella nazionale di pallavolo.