A volte una formula matematica che sembra essere interessante solamente da un punto di vista teorico può rivelare inaspettate connessioni con un problema concreto.
È il caso delle formule di prostaferesi, temute da generazioni di studenti di trigonometria. Vedremo in particolare un’applicazione della formula che trasforma la somma di due funzioni seno in un prodotto di seno e coseno
$$\displaystyle \sin(x)+\sin(y) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$
Questa formula ci aiuterà a spiegare un interessante fenomeno acustico chiamato battimento. Vediamo di cosa si tratta.
Battimenti
Quando vengono suonate due note con altezza leggermente diversa il suono risultante sembra comparire e scomparire come se qualcuno stesse alzando e abbassando il volume con una certa frequenza. Questo fenomeno viene chiamato battimento.
Le due note possono essere rappresentate dalle funzioni
$$\begin{aligned} f_1(t) & = \sin(\omega_1 t)\\f_2(t) & = \sin(\omega_2 t) \end{aligned}$$
che oscillano nel tempo con le due frequenze $\omega_1$, $\omega_2$ (a rigore bisognerebbe chiamare $ \omega_1$ e $\omega_2$ pulsazioni, che divise per $2\pi$ danno le frequenze, ma in questo articolo per semplicità le chiameremo frequenze).
I fenomeni acustici sono (con buona approssimazione) lineari per cui il suono di due note suonate assieme è uguale alla somma delle due singole note.
$$ S(t)=\sin(\omega_1 t)+\sin(\omega_2 t)$$
Con l’aiuto della formula di prostaferesi possiamo scrivere la funzione “suono” come
$$ \displaystyle S(t)=2\sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2} t \right)\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2} t \right) =2\sin\left(\omega t\right)\cos\left(\delta t\right)$$
dove nell’ultimo termine abbiamo definito
$$\begin{aligned} \omega & =\frac{\omega_1+\omega_2}{2} \\ \delta & =\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\end{aligned}$$
Se le due frequenze sono vicine tra loro $\omega_1\sim\omega_2$ abbiamo che $\omega$ è anche simile a questi valori (è la loro media) e $\delta$ è invece un valore molto piccolo rispetto a $\omega$ (è la differenza di due valori simili).
Poiché $\delta$ è molto più piccolo di $\omega$, possiamo interpretarelo come una variazione periodica di ampiezza $A(t) = 2 \cos(\delta t)$ applicata alla nota $\sin(\omega t)$
$$S(t) = A(t)\sin(\omega t)$$
Vediamo quindi che $A(t)$ agisce come una modifica periodica di volume del suono $\sin(\omega t)$. Più piccola è la differenza tra le due frequenze di partenza, più lenta è la frequenza di battimento $\delta$.
Nell’immagine seguente sono raffigurate le due funzioni $f_1$, $f_2$ (grafico in alto) e la funzione risultante $S$ (grafico in basso).
Di seguito potete ascoltare i corrispondenti suoni. All’inizio si sentono le due note suonate separatamente e poi il suono creato dalle due note suonate assieme.
Accordatura degli strumenti
Il fenomeno dei battimenti è usato per accordare gli strumenti musicali.
Ipotizziamo di dover accordare la corda di una chitarra avendo come riferimento un diapason. Se la corda produce un suono che è già abbastanza vicino a quello del diapason, suonando entrambi si potrà sentire un battimento.
Di solito è difficile capire se bisogna aumentare o diminuire la tensione della corda per replicare perfettamente la nota del diapason. La cosa più semplice è procedere per tentativi.
Esempio: proviamo ad aumentare la tensione della corda (e quindi la frequenza della nota). Suoniamo nuovamente la corda e il diapason e notiamo che la frequenza di battimento è aumentata. Questo vuol dire che nel nostro tentativo siamo andati nella direzione sbagliata. Lentamente diminuiamo allora la tensione fino a quando la frequenza di battimento è talmente piccola che non è più percettibile. Congraturazioni! Adesso la corda riproduce (per ogni scopo pratico) la stessa nota del diapason.
E le altre 5 corde? Il processo è lo stesso prendendo come riferimento, invece che il diapason, altre note suonate sulla corda che è già stata accordata.
Chiaramente esistono delle app che si possono usare per accordare strumenti musicali. Tuttavia se state suonando la chitarra su una spiaggia circondati da un gruppo di ascoltatori entusiasti, è meglio che sappiate come accordare la vostra chitarra alla vecchia maniera senza tirare fuori il cellulare, o perderete subito la fiducia del pubblico nelle vostre capacità!
