Un oggetto lanciato in verticale ricade nello stesso punto?

Introduzione

Se lanciamo un oggetto esattamente in verticale e trascuriamo gli effetti dell’aria ricadrà nello stesso punto da cui è partito? Oppure, per effetto della rotazione terrestre, ricadrà in un punto diverso?

Detto in altro modo, se facessi un salto molto alto, la Terra non dovrebbe ruotare sotto i miei piedi facendomi ricadere in un punto diverso?

Questa è la domanda che mi ha rivolto un lettore del blog spiegandomi che la questione era stata l’oggetto di una discussione tra amici nella quale alcuni sostenevano che si ricade nello stesso punto e altri che si ricade in un punto diverso.

Il fenomeno, che potrebbe sembrare banale, presenta degli aspetti interessanti per cui si merita un articolo del blog!

Lancio in verticale da un veicolo in movimento

Ragionando da un certo punto di vista il proiettile dovrebbe ricadere nello stesso punto da cui è partito.

Se lanciamo un oggetto in verticale mentre siamo su un treno in corsa (o in auto), l’oggetto ci ricadrà in mano, nello stesso punto da cui l’abbiamo lanciato. Un veicolo a 100 km/h si sposta di quasi 28 metri al secondo, se eseguiamo un lancio che dura un secondo sappiamo benissimo che l’oggetto non rimane indietro di 28 metri.

Questo succede perché, dal punto di vista di chi si trova fermo sui binari (o sulla strada), la velocità orizzontale dell’oggetto viene mantenuta per tutto il lancio. Il treno si sposta di 28 metri, l’oggetto lanciato si sposta di 28 metri e quindi ricade, rispetto al treno, nello stesso punto.

Ci sono molti video su YouTube che mostrano questi effetti ma il più bello è il seguente.

Ma anche questo dove viene lanciata in aria una palla medica da una persona che si trova su un pick-up rende bene l’idea.

All’equatore la Terra ha una velocità di rotazione notevole, pari a 472 metri al secondo! Facendo un salto e stando in aria un secondo non ricadiamo certo a 470 metri di distanza ma nello stesso punto da cui siamo partiti.

Lancio in verticale e rotazione terrestre

C’è tuttavia una differenza tra il lancio effettuato sul treno e quello effettuato sulla Terra. Nel caso del treno possiamo supporre che il moto di chi effettua il lancio sia rettilineo con velocità costante, nel caso della Terra il moto di chi effettua il lancio è di rotazione attorno ad un asse (moto circolare uniforme).

Se un lancio dura poco tempo possiamo immaginare che lo spostamento della superficie terrestre sia in pratica uno spostamento in linea retta. Il fenomeno si svolge allora come nel caso del treno e l’oggetto ricadrà nello stesso punto di partenza.

Per lanci che durano più tempo si possono verificare dei fenomeni dovuti al fatto che il movimento di chi sta sparando è di rotazione.

Se la velocità iniziale del lancio è molto elevata il proiettile raggiungerà grandi altezze e resterà in volo per un tempo più lungo.

Il proiettile in pratica farà un’orbita vicina alla Terra simile a quella che eseguono i pianeti attorno al Sole, e rispettando le leggi di Keplero. Il proiettile percorrerà quindi una traiettoria ellittica con un fuoco posizionato nel centro della Terra.

In questi moti la velocità angolare diminuisce a mano a mano che il corpo si allontana dal corpo che lo attrae (seconda legge di Keplero).

Per questo motivo la sua velocità angolare durante il volo sarà per tutto il tempo inferiore alla velocità angolare di partenza che era quella della superficie terrestre.

Sia il proiettile che la Terra ruoteranno verso est, ma la il proiettile lo farà con una velocità angolare minore e per questo motivo “resterà indietro” atterrando un po’ spostato verso ovest. Questo spostamento è massimo all’equatore ed è invece nullo ai poli dove il proiettile ricadrebbe esattamente al punto di partenza.

Ma di quanto si sposta?

La formula che fornisce la distanza del punto in cui il proiettile cadrà rispetto al punto di partenza è

$$d = \frac{4\omega v^3}{3g^2}\cos(\alpha)$$

dove

• $d$ è la distanza tra il punto di partenza e quello di atterraggio
• $\omega$ è la velocità angolare della terra ($\omega = 7,29\cdot 10^{-5}$ rad / s)
• $v$ è la velocità iniziale del proiettile
• $g$ è l’accelerazione gravitazionale ($g=9,81\ \mathrm{m/s^2}$)
• $\alpha$ è l’angolo che rappresenta la latitudine ($\alpha=0$ all’equatore, $\alpha = \pi/2$ al polo nord)

Inserendo nella formula la velocità iniziale con cui spariamo il nostro oggetto e la latitudine, troviamo la distanza rispetto al punto di partenza in cui l’oggetto ricadrà.

Vediamo che valori si ottengono con degli esempi in cui immaginando di essere all’equatore ($\alpha=0$ e quindi $\cos(\alpha)=1$).

Per un atleta che fa un salto in verticale di 1 metro (niente male!) la velocità di stacco da terra è di 4,43 m/s e otteniamo una distanza pari a un decimo di millimetro, minuscola.

Per una palla lanciata verticalmente a 100 km / h (circa 27,7 m/s) lo spostamento sarebbe poco più di 2 centimetri.

Le armi da fuoco possono però sparare proiettili a velocità molto maggiori, dai 120 m/s fino ad un massimo di 1200 m/s per armi speciali caricate con proiettili ad alta velocità (vedi Wikipedia, Muzzle velocity).

Per una normale arma che spara a 120 m/s si trova che l’atteraggio è a 1, 74 metri dal punto di partenza, la distanza comincia ad essere considerevole.

Per un’arma ad alta velocità che spara a 1200 m/s il punto di atterraggio è a 1745 metri di distanza! Questo aumento improvviso è dovuto al fatto che nella formula la velocità iniziale è elevata alla terza per cui se si aumenta di 10 volte la velocità, la distanza aumenta di 1000 volte.

Precisazioni varie

Ci sono una serie di importanti commenti da fare su questi risultati.

Questi calcoli tengono conto della rotazione terrestre ma non della presenza dell’aria. Nella realtà i proiettili sono fortemente rallentati nel loro moto dalla presenza dell’aria. Per questo motivo non raggiungono le altezze previste da questo modello matematico, rimangono in aria meno tempo, e quindi lo spostamento reale è più piccolo. Il proiettile sparato a 120 m/s senza gli effetti dell’aria dovrebbe arrivare ad una altezza di 734 m, in realtà comincerà a ricadere molto prima a causa del rallentamento dovuto all’aria.

La presenza di vento e anche una piccolissima imprecisione nell’inclinazione iniziale del lancio potrebbero influire molto di più sullo spostamento del proiettile rispetto alla distanza prevista in teoria.

Risolvere in modo esatto il problema della distanza del punto di caduta è molto complicato. La formula rappresenta una approssimazione della soluzione, non la soluzione completa.

Lo si può intuire anche dal fatto che la formula restituisce un risultato per qualsiasi velocità che inseriamo, mentre superata una certa velocità (detta “di fuga”) il proiettile non ricadrebbe nemmeno sulla Terra ma continuerebbe ad allontanarsi per sempre.

Curiosi esperimenti di caduta

Un fenomeno analogo a quello descritto riguarda i corpi che vengono lasciati cadere da grandi altezze. In questo caso il corpo cadendo aumenta la sua velocità angolare rispetto a quella di partenza (sempre a causa delle leggi di Keplero) e atterra in un punto leggermente spostato verso est. L’oggetto fa più strada di quella percorsa dalla superficie terrestre!

Anche in questo caso si tratta di un fenomeno molto difficile da osservare per una serie di fattori simili a quelli che abbiamo considerato per il proiettile (gli spostamenti previsti sono piccoli e si confondono con altri fattori come la presenza dell’aria, vento, imprecisioni nel lancio).

Nel 1803 a Wetter in Germania alcuni scienziati cercarono di svolgere l’esperimento lasciando cadere degli oggetti all’interno di una miniera profonda 84 metri. La miniera era stata scelta allo scopo di ridurre l’influenza del vento.

Vennero effettuati 29 lanci e, nonostante i molti fattori di incertezza, dal punto di vista statistico, si vide che la caduta veniva deviata della misura prevista.

L’esperimento della miniera non è molto noto ma di fatto fu una prova della rotazione della Terra precedente al molto più famoso esperimento del pendolo di Foucault del 1851.

Conclusioni

In conclusione, nella maggior parte dei casi di fatto l’oggetto lanciato in verticale ricade nello stesso punto.

A rigore, tuttavia, esiste un fenomeno causato dalla rotazione della Terra, molto difficile da osservare, che prevede una ricaduta dell’oggetto in un punto spostato a ovest. Maggiore è la velocità di lancio, maggiore sarà lo spostamento.

Questo esempio mostra in modo lampante come, anche nei problemi apparentemente semplici, si possano nascondere complicazioni non da poco.

Citando uno degli aforismi che fanno parte del libro “La legge di Murphy”

Teorema di Stockmayer

Se sembra facile è dura. Se sembra dura è maledettamente impossibile.

Arthur Block, La legge di Murphy, 1977.

Riferimenti

Articolo di Wikipedia sul moto dei proiettili con formule che tengono conto di diversi fattori: https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion.

Per i più arditi, in questo documento si trovano i passaggi che permettono di trovare la formula utilizzata nell’articolo: https://www.damtp.cam.ac.uk/user/reh10/lectures/ia-dyn-handout14.pdf. Il tipo di formule e la notazione utilizzata sono di livello universitario.

Anders Persson: Proving that the Earth rotates by measuring the deflection of objects dropped in a deep mine. The French-German mathematical contest between Pierre Simon de Laplace and Friedrich Gauß 1803, http://rus.ums.rshu.ru/file1542.

Articolo di Wikipedia in tedesco su Johann Friedrich Benzenberg, scienziato che ha guidato l’esperimento di caduta all’interno della miniera https://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Friedrich_Benzenberg.

Immagine di copertina di Vlad Chețan dal sito pexels.com: https://www.pexels.com/it-it/foto/foto-della-mano-della-persona-che-lancia-una-palla-da-baseball-2694317/