Matematica e derivati finanziari

Cosa sono i derivati finanziari? Come la matematica ci può aiutare a dare loro un prezzo?

Per prima cosa è interessante sapere che Warren Buffet, considerato da molti l’investitore di maggior successo del ventesimo secolo, ha definito i derivati armi di distruzione finanziaria di massa (vedi questo articolo).

Non aveva tutti i torti visto che i derivati occupano la maggioranza delle posizioni nella classifica delle più grandi perdite finanziare di tutti i tempi dovute a errati investimenti!

Vince (se così si può dire) questa classifica una perdita di 9 miliardi di dollari subita dalla banca d’affari JPMorgan Chase nel 2012.

Cosa c’entra tutto questo con la matematica? Cominciamo (come spesso è opportuno fare!) dall’inizio.

Da Talete a Wall Street

Il più antico derivato finanziario di cui si ha traccia è stato comprato nel VI secolo a.C. da un personaggio ben noto ai lettori di questo blog: il matematico e filosofo Talete.

Secondo alcuni aneddoti pare che Talete avesse un certo fiuto per gli affari e prevedendo un eccezionale stagione di raccolta delle olive stipulò quello che in termini moderni verrebbe chiamato derivato per trarne profitto.

Questo tipo di strumenti era abbastanza comune tra i mercanti dell’antichità per fissare in anticipo il prezzo di beni che avrebbero avuto a disposizione solo in un secondo momento.

Un utilizzo più sistematico si sviluppò nel 1700 in Giappone nella borsa del riso di Dojima a Osaka, e poi nell’800 negli Stati Uniti, in particolare nella città di Chicago.

L’uso dei derivati rimase comunque un’attività limitata principalmente al commercio fino alla seconda metà degli anni ’90 anni fa quando si è verificata un’improvvisa espansione del mercato dei derivati che ha provocato un boom di assunzioni di matematici e fisici da parte di banche, assicurazioni e società di consulenza che lavorano in ambito finanziario.

Come mai le banche hanno bisogno dei matematici? E soprattutto… cosa diavolo sono questi derivati?!

Definizione ed esempi

Si possono dare diverse definizioni di cos’è un derivato, una abbastanza completa è la seguente:

un derivato è un contratto che prevede uno o più scambi futuri di denaro o altri beni, i cui importi dipenderanno da quali valori assumeranno in futuro certe variabili dette sottostanti del derivato.

Usando un linguaggio più matematico un derivato può essere descritto da una struttura di questo tipo:

1. un vettore di tempi $(t_1, \ldots, t_n)$ che rappresentano le date di pagamento;
2. un vettore di variabili $\vec{x}=(x_1, \ldots, x_k)$ che rappresentano i sottostanti;
3. $n$ funzioni $f_1(\vec{x}_{t_1}), \ldots, f_n(\vec{x}_{t_n})$ che descrivono come sono fatti i pagamenti alle date $t_1, \ldots, t_n$ in funzione del valore dei sottostanti. In gergo finanziario queste funzioni vengono dette payoff.

Questa struttura in molti casi pratici si semplifica perché il pagamento è uno oppure c’è un solo sottostante o le funzioni di pagamento sono tutte uguali.

Dopo tutta questa teoria è ora di fare degli esempi concreti! Quelli che seguono sono derivati che hanno come sottostante il prezzo del petrolio che ad oggi vale circa 60 dollari al barile (potete trovare i prezzi aggiornati qui).

Derivato 1: se il prezzo del petrolio al 31/12/2019 sarà maggiore o uguale a 60 dollari al barile allora chi ha comprato il derivato riceve 30.000 €, altrimenti non riceve nulla.

In generale un derivato offre l’opportunità di un guadagno per cui se vogliamo investire in un derivato esso va comprato pagando un certo prezzo.

Di seguito il grafico della funzione di pagamento del derivato 1 in funzione del prezzo del petrolio al 31/12/2019.

Derivato 2: posto $x = $”prezzo del petrolio al 31/12/2019″ chi ha comprato il derivato riceve $30.000\cdot\max[x-60,0]$ euro, o scritto in altro modo, riceve

$$f(x) = \begin{cases}30.000\cdot ( x – 60 ) & \text{se } x \geq 60\\ 0 & \text{se } x < 60 \end{cases}$$

Di seguito il grafico della funzione di pagamento del derivato 2 in funzione del prezzo del petrolio al 31/12/2019. In pratica chi ha comprato il derivato riceve 30.000 € per ogni dollaro di aumento del prezzo del petrolio oltre al livello di 60 dollari.

Tutto chiaro ma… a cosa servono?

I derivati possono essere usati con due scopi:

• per coprirsi nei confronti di un certo rischio (comprando un derivato che mi fa guadagnare quando si verificano gli eventi da cui voglio proteggermi);
• per pura speculazione (comprando un derivato per cercare di venderlo successivamente a un prezzo maggiore).

Prendendo gli esempi di prima il derivato 2 è adatto a coprirsi dal rischio di un rialzo del prezzo del petrolio perché paga in proporzione a quanto più il prezzo è maggiore di 60. Ipotizziamo che io abbia un’attività legata al petrolio tale per cui se il prezzo si alza troppo la mia attività è a rischio. Potrei comprare questo derivato come una sorta di “assicurazione”. Se il prezzo si alza la mia attività sarà in perdita ma avrò i pagamenti del derivato che copriranno queste perdite.

Il derivato 1 è invece considerato speculativo perché ha una funzione di pagamento discontinua e costante a tratti. Queste due caratteristiche fanno in modo che:

• per piccole variazioni del prezzo del petrolio (attorno al valore di 60) può prevedere pagamenti molto diversi;
• quando paga mi dà sempre la stessa quantità anche se il prezzo dovesse raggiungere valori estremamente alti.

Queste caratteristiche non lo rendono adatto a essere usato come “assicurazione” sul rialzo del petrolio e quindi questo derivato viene considerato speculativo.

Potete capire come i derivati possano essere utili per coprirsi da eventuali rischi, ma anche pericolosi se non si valutano correttamente i rischi di perdita legati a questo tipo di investimenti.

OK, il prezzo è giusto!

La ricetta per dare un prezzo a un derivato consiste nel:

1. fissare un modello stocastico che descriva l’evoluzione dei sottostanti;
2. trovare la distribuzione di probabilità dei sottostanti alle date di pagamento;
3. da come sono distribuiti i sottostanti, tramite le funzioni di pagamento, si trova la distribuzione dei pagamenti;
4. si calcola la media di ciascuna distribuzione dei pagamenti;
5. il prezzo è dato dalla somma delle medie dei pagamenti (trovate al punto precedente).

Quindi il prezzo del derivato è il guadagno medio che posso ottenere dal derivato. Questo calcolo può essere più o meno difficile a seconda di quanto complesso è il modello che si usa per i sottostanti o di quanto complicate sono le funzioni di pagamento.

Nei casi più semplici il prezzo può essere trovato tramite formule chiuse. Quando questo non è possibile il prezzo è di solito calcolato tramite delle simulazioni Monte Carlo. (per una introduzione sui metodi Monte Carlo vedi i miei precedenti articoli I metodi Monte Carlo e I metodi Monte Carlo in azione.

Visto che per dare un prezzo ai derivati bisogna saper smanettare con i processi stocastici potete capire perché le aziende che hanno a che fare con i derivati siano interessate a reclutare matematici e fisici da impiegare in questo ambito.

Cosa sono i processi stocastici? Ne parlerò in uno dei prossimi post, per il momento ci basta sapere che servono per descrivere fenomeni che hanno un’evoluzione non prevedibile in modo deterministico (ad esempio il prezzo di un’azione o il moto caotico di una molecola che si scontra contro altre molecole che la circondano).

P.S.

Chi avesse già conoscenze sul tema dei derivati avrà notato che ho fatto alcune semplificazioni per cercare di rendere il tema meno contorto. In particolare ho omesso:

• complicazioni sul fatto che di solito i valori dei sottostanti non sono rilevati alle date di pagamento ma a date precedenti;
• il fatto che per trovare il valore a oggi dei pagamenti futuri questi vanno scontati con una approprieta curva dei tassi (il potere di acquisto di una certa somma di denaro diminuisce nel tempo per cui un pagamento futuro vale meno degli stessi soldi dati subito).