Perché le note sono 12?

Intanto superiamo un dubbio iniziale. Le note non erano 7? In effetti no. Prendiamo ad esempio un pianoforte. Se contiamo i tasti che ci sono tra un DO e il successivo, troviamo che ci sono 12 tasti. È vero che 7 di questi tasti sono bianchi e più grandi mentre altri 5 sono più piccoli e neri, ma anche i tasti neri rappresentano pur sempre delle note a tutti gli effetti!

In una chitarra la cosa è ancora più evidente. Se scorriamo su una corda dobbiamo spostarci di 12 tasti per ritrovare la stessa nota dell’ottava successiva e non esiste una distinzione tra queste 12 note come nei tasti bianchi e neri del pianoforte. Il tasto numero dodici in molte chitarre è contraddistinto dalla presenza di 2 pallini e si trova esattamente a metà della corda.

Messo da parte questo dubbio ne sorge uno ben più spinoso: perché mai l’intervallo tra una nota e la stessa nota dell’ottava successiva viene diviso in 12 parti che rappresentano altrettante note? Perché non 14 o 10?

La risposta breve è che il numero 12 ha delle proprietà matematiche che rendono la suddivisione in 12 parti preferibile rispetto ad altre suddivisioni possibili.

Per capire quali sono queste misteriose “proprietà matematiche” che riguardano il numero 12 dobbiamo mettere assieme alcuni concetti sulla nostra percezione del suono.

Ogni nota che noi percepiamo ha una particolare frequenza (numero di oscillazioni al secondo). Le note più gravi hanno frequenza più bassa, le note più acute hanno frequenza più alta. La frequenza si misura in hertz, simbolo Hz. Un hertz significa una oscillazione al secondo, due hertz due oscillazioni al secondo, e così via.

Il nostro orecchio misura la distanza tra due suoni in base al rapporto tra le loro due frequenze. Immaginiamo di sentire in successione un suono a 400 Hz e poi un suono a 440 Hz. Ipotizziamo di sentire poi altri due suoni, il primo a 500 Hz e il secondo a 550 Hz. La nostra sensazione è che nel primo e nel secondo caso il suono cambi nello stesso modo e questo è dovuto al fatto che il rapporto tra la frequenza finale e quella iniziale ha lo stesso valore:

$$\frac{440}{400} = \frac{11}{10}$$

$$\frac{550}{500} = \frac{11}{10}$$

Quindi il modo giusto di “misurare” un intervallo tra due note è quello di calcolare il rapporto tra le frequenze delle due note.

Ed ecco un punto centrale del discorso: due note suonano bene assieme se il rapporto tra le loro frequenze è una frazione semplice, una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha un numeratore e un denominatore abbastanza piccoli. Ad esempio, se il rapporto tra le frequenze di due note risulta essere uguale a 3/2, 4/3 oppure 5/3 le due note suoneranno bene assieme.

Se invece il rapporto tra le frequenze di due note è una frazione con numeri più grandi come 11/7 oppure 13/7, allora le due note non suoneranno molto bene assieme.

Presa una certa nota, per ottenere la stessa nota dell’ottava successiva dobbiamo raddoppiare la sua frequenza. Ad esempio, siccome è stato deciso convenzionalmente che un suono con frequenza di 440 Hz è un LA allora il LA dell’ottava successiva avrà frequenza 880 Hz, mentre il LA dell’ottava precedente avrà frequenza 220 Hz.

Per suddividere le frequenze all’interno di una ottava in modo che rappresentino tanti intervalli tutti uguali dobbiamo allora procedere in questo modo:

• stabilire un valore $k$ che rappresenti la costante per cui viene moltiplicata la frequenza ogni volta che si passa da una nota a quella successiva
• ipotizzare che a partire da una frequenza $f_0$, dopo un certo numero $N$ di passi otteniamo la frequenza doppia $2f_0$ che rappresenta la stessa nota dell’ottava successiva

Partendo da una generica nota di frequenza $f_0$ le frequenze delle note successive si trovano come:

$f_1=kf_0$

$f_2=kf_1=kkf_0=k^2f_0$

$f_3=kf_2=kk^2f_0=k^3f_0$

$\ldots$

La nota $N$ dovrà avere frequenza $k^{N}f_0$ ma anche frequenza uguale a $2f_0$ (visto che vogliamo arrivare in $N$ passi alla stessa nota dell’ottava successiva).

$f_N = k^N f_0$

$f_N = 2f_0$

Uguagliando i due fattori che moltiplicano la frequenza $f_0$ troviamo una formula che collega il numero di passi $N$ al fattore $k$

$$k^N = 2 \qquad \Rightarrow \qquad k = \sqrt[N]{2}$$

Cioè se dividiamo l’ottava in $N$ intervalli allora il fattore $k$ deve essere uguale alla radice $N$-esima di 2.

Potremmo dividere una ottava in un qualsiasi numero di intervalli. Potremmo prendere $N=7$, $N=10$, $N=31$. Cambiando il numero di intervalli $N$ cambia però anche il fattore $k$ e di conseguenza le note intermedie tra $f_0$ e $2f_0$ saranno diverse.

Nella successione delle note intermedie tra $f_0$ e $2f_0$ vogliamo che ci siano le note che suonano particolarmente bene con la nota di base $f_0$.

Il valore di $N$ viene scelto allora in modo che tra le note intermedie ce ne sia una che abbia un rapporto di frequenza molto vicino a 3/2 rispetto alla nota di base $f_0$. Scegliendo $N=12$ si ottiene proprio questo risultato: tra le varie note ne è presente una che arriva molto vicina ad avere un rapporto di frequenza di 3/2 rispetto a $f_0$.

Nella seguente tabella vediamo quanto valgono i rapporti delle frequenze nel caso si divida l’ottava in un diverso numero di intervalli.

Nelle colonne si trovano, a seconda del numero di intervalli scelti per dividere l’ottava, le frequenze ottenute per le varie note (come fattore rispetto alla nota di base). Per ogni colonna ho messo in evidenza il valore che più si avvicina a $3/2=1,5$. Si può notare che la migliore approssimazione si ottiene nel caso in cui gli intervalli sono 12.

Si può dimostrare che per avere una approssimazione ancora migliore del rapporto 3/2 bisognerebbe dividere l’ottava in 41 intervalli. Tuttavia, è chiaro che non sarebbe per nulla pratico costruire degli strumenti con così tante note all’interno di una ottava!

Per questo motivo la scelta del numero 12 sembra essere il miglior compromesso tra l’avere una buona approssimazione del rapporto 3/2 e non avere un numero troppo grande di note che renderebbe molto difficile costruire gli strumenti musicali.

In termini musicali l’intervallo tra due note vicine di questa successione si chiama semitono. Per aver scelto di dividere l’ottava in 12 parti il rapporto di frequenza in un semitono è uguale a $\sqrt[12]{2}$. Dopo 7 semitoni si arriva al famoso intervallo che approssima il valore di 1,5 e che avrà rapporto di frequenza dato da $\sqrt[12]{2^7}=1.4983\ldots$.

L’intervallo tra questa nota e quella di base viene chiamato intervallo di quinta e la scala musicale che utilizziamo è stata costruita in modo da contenere un’ottima approssimazione di questo valore speciale.

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Approfondimenti

Di seguito vi propongo alcune considerazioni che approfondiscono ulteriormente l’argomento dell’articolo:

• da notare che anche aumentando il numero di intervalli in cui si divide l’ottava non si avrà mai il valore esatto di 1,5 tra quelli generati nella scala. Questo perché dopo aver diviso l’ottava in $N$ parti i rapporti di frequenza sono dati dalla formula $$\sqrt[N]{2^i}$$ per $i$ che va da $1$ a $N$. Ma questi numeri sono irrazionali e nessuno potrà essere uguale al valore di $3/2$ che è un numero razionale.
• potrebbe venire allora la tentazione di costruire una scala che avesse i rapporti esatti di frequenza rispetto a una nota di base e di conseguenza degli strumenti accordati in questo modo. Questo tuttavia renderebbe impossibile suonare una melodia in una tonalità diversa perché i rapporti giusti si avrebbero solamente rispetto alla nota di base. Il metodo comunemente usato per determinare le note musicali non permette di avere dei rapporti razionali esatti tra le frequenze, ma permette di suonare una melodia a partire da qualsiasi nota spostando di un certo numero fisso di semitoni tutte le note.
• nell’articolo ho scritto che successivamente al numero 12 è il numero 41 che potrebbe essere usato per ottenere un’approssimazione ancora migliore del rapporto 3/2. Se siete interessati a capire il motivo vi segnalo l’interessante (ma impegnativo) articolo: Why 12 notes to the Octave?
• durante il rinascimento alcuni teorici della musica ipotizzarono di dividere l’ottava in 19 parti. La scelta $N=12$ permette infatti di approssimare molto bene il rapporto $3/2$ ma non permette di approssimare altrettanto bene altri importanti intervalli musicali. Dividendo l’ottava in 19 parti si ottiene una approssimazione leggermente peggiore del rapporto $3/2$ ma alcuni altri rapporti vengono approssimati meglio. Questa opzione non ha tuttavia avuto molto seguito, forse per motivi di praticità nel costruire gli strumenti musicali. Per approfondire vedi 19 equal temperament – Wikipedia. La musica che sfrutta sistemi di accordatura che dividono l’ottava in più di 12 parti è chiamata musica microtonale (vedi Microtonal music – Wikipedia).